はじめに
こんにちは、清水です。
意識のモデル化に興味があります。
そこで、物理で外界をどのようにモデル化しているかを知るために、つぎの輪読を行っています。
「一般相対性理論を一歩一歩数式で理解する」 読書会 第9回、 §9 ポテンシャル
https://akbrobot.connpass.com/event/269485/
この中で、スカラーポテンシャル $f(x)$、ベクトルポテンシャル $B(x)$ がでてきます。数式からイメージしずらいので調べてみました。（意識ポテンシャルに向けて？）
$A(x)=- \nabla$ $f(x)$ （ただし$\nabla \times A(x)=0$ ）
$A(x)=- \nabla \times B(x)$ （ただし$\nabla \cdot A(x)=0$ ）
ここで、 $A(x)$ はベクトル場、$ \nabla $ はベクトル微分演算ナブラ$、 \times$ はベクトル積、$\cdot$ は内積です。
$ \nabla $ は形式的に、$(\frac{\partial \bf }{\partial x},\frac{\partial \bf }{\partial y},\frac{\partial \bf }{\partial z})$ を表しています。
$ \times$ は2つの３次元ベクトルから新たな３次元ベクトルを与える二項演算です。外積やクロス積とも呼ばれます。
ベクトル積を定義できるのは、0次元、1次元、3次元、7次元ベクトルだけのようです。機械学習で高次元（１万次元とか）のベクトル積は欲しくならないのだろうか？
スカラーポテンシャルの定義
（定理1.23）ベクトル場 $A(x)$ が、直方体の領域$R$全体で、$rot$ $A(x)=0$ となるとき、スカラー場 $f(x)$ が存在して、
$A(x)=-grad$ $f(x)=- \nabla$ $f(x)$ と表される。
$f(x)$ をスカラーポテンシャルという。
スカラーポテンシャルの例
重力ポテンシャル
重力ポテンシャルは単位質量当たりの重力ポテンシャルエネルギーである。
$A(x)$ を重力ベクトル場、$f(x)$ を重力ポテンシャルとする。
$g$ を重力加速度、$e3 = (0, 0, 1)$ を鉛直上向きの単位ベクトルとする。このとき
$A(x) = −ge3$ である。また、$A(x) = −∇(gx3)$ と書けるので、$f(x)=gx3$ となる。
電位ポテンシャル
電位は電場（単位電荷当たりの静電気力）に関連するスカラーポテンシャルである。この場合、電位は単位電荷当たりの静電ポテンシャルエネルギーである。
$A(x)$ を電場、$f(x)$ を電位ポテンシャルとする。
ベクトルポテンシャルの定義
（定理1.24）ベクトル場 $A(x)$ が、直方体の領域$R$全体で、$div$ $A(x)=0$ を満たす時と、ベクトル場 $B(x)$ が存在して、
$A(x)=-rot$ $B(x)=- \nabla \times B(x)$ と表される。
$B(x)$ をベクトルポテンシャルという。
ベクトルポテンシャルの例
電磁ポテンシャル
電磁ポテンシャルは電磁場のポテンシャル概念で、スカラーポテンシャル$f(t,x) $とベクトルポテンシャル$B(t,x)$の総称である。
$E=-\nabla f(t,x) - \frac{\partial \bf B(t,x)}{\partial t} $
$A=-\nabla \times B(t,x)$
ここで、$E$ は電場（電場の強度ベクトル）、$A$ は磁場（磁束密度ベクトル）である。
電磁ポテンシャルが電磁気の本質であって、電場や磁場は二次的なものらしい？
おわりに
ベクトル場$A(x)$ を直接扱うのではなく、かわりに$A(x)$を導出するスカラーポテンシャル$f(x)$、ベクトルポテンシャル$B(x)$ を使用すると、話が本質的で簡素になることがあるようです。
例えば、4元ポテンシャルの使用により、マクスウェル方程式の等式数を４本から１本にできる。
https://ja.wikipedia.org/wiki/マクスウェルの方程式#マクスウェルの方程式と特殊相対性理論
いつか、意識ポテンシャルを定義できるか？
参考文献
一般相対性理論を一歩一歩数式で理解する 2017/3/27 石井 俊全
参考URL
数学解析第１ 第１２回講義ノート スカラーポテンシャル
https://www.math.keio.ac.jp/~iguchi/Lectures/pdf/2013/Note_MA_12.pdf
電磁ポテンシャル 果たしてこれは実在か？
https://eman-physics.net/electromag/potential.html
七次元の外積
https://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/SevenDCrossProd/
https://ja.wikipedia.org/wiki/ポテンシャル
https://ja.wikipedia.org/wiki/スカラーポテンシャル
https://ja.wikipedia.org/wiki/ベクトルポテンシャル
https://ja.wikipedia.org/wiki/電磁ポテンシャル
https://ja.wikipedia.org/wiki/クロス積