基底とは

定義

線型空間$V$の有限個のベクトル$\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, ... , \boldsymbol{e}_n$がつぎの二条件を充すとき、$\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, ... , \boldsymbol{e}_n$は$V$の基底であると言う

• $e_1, e_2, ... , e_n$は線形独立である
• $V$の任意のベクトルは，$\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, ... , \boldsymbol{e}_n$の線型結合として表される

（斎藤正彦：線型代数入門，東京大学出版会，1966．）

補足

線型空間$V$のベクトル$\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, ... , \boldsymbol{a}_n$に対し、

• $ c_1\boldsymbol{a}_1 + c_2\boldsymbol{a}_2 + ... + c_n\boldsymbol{a}_n = \boldsymbol{0} $ ならば $ c_1 + c_2 + ... + c_n = 0$が成り立つ時、$\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, ... , \boldsymbol{a}_n$は線形独立であると言う
• $ c_1\boldsymbol{a}_1 + c_2\boldsymbol{a}_2 + ... + c_n\boldsymbol{a}_n $ の形のベクトルを、$\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, ... , \boldsymbol{a}_n$の線型結合と言う

線型空間（ベクトル空間）の定義は「数学の景色」による説明がわかりやすいです。
https://mathlandscape.com/vector-space/

参考文献

佐藤恒雄, 野澤宗平：初歩から学べる線形代数，培風館，2007．