方針

分布関数は，全確率1と単調非減少を満たす．単調非減少は，分布関数の微分である確率密度関数が定義域内の全てのxに対して正であることを確かめれば良い．

答案

1.

確率密度関数：

f_X(x)=\frac{d}{dx}\frac{1}{1+e^{-x}}=\frac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^2}

が定義域内で非負なので，F_Xは単調非減少である．また，

\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{1+e^{-x}}=1,\ \lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{1}{1+e^{-x}}=0

より，全確率1も満たすため，F_Xは分布関数．

2.

確率密度関数：

f_X(x)=\frac{d}{dx}(1-\frac{1}{x^2})=\frac{2}{x^3}

が定義域内で非負なので，F_Xは単調非減少である．また，

\lim_{x\rightarrow\infty}1-\frac{1}{x^2}=1,\ \lim_{x\rightarrow 1}1-\frac{1}{x^2}=0

より，全確率1も満たすため，F_Xは分布関数．

3.

確率密度関数：

\begin{align}
f_X(x)&= \frac{d}{dx}\frac{\log x}{1+\log x}\\
&= \frac{\frac{1}{x}(1+\log x)-\frac{1}{x}\log x}{(1+\log x)^2}\\
&= \frac{1}{x(1+\log x)^2}
\end{align}

が定義域内で非負なので，F_Xは単調非減少である．また，

\begin{align}
\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\log x}{1+\log x}&= \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1/x}{1+1/x}=1\\
\lim_{x\rightarrow 1} \frac{\log x}{1+\log x}&= 0
\end{align}

より，全確率1も満たすため，F_Xは分布関数．

4.

確率密度関数：

\begin{align}
f_X(x)&= \frac{d}{dx}(1-e^{-\frac{x^2}{2}})\\
&= xe^{–\frac{x^2}{2}}
\end{align}

が定義域内で非負なので，F_Xは単調非減少である．また，

\lim_{x\rightarrow \infty}1-e^{-\frac{x^2}{2}}=1,\ \lim_{x\rightarrow 0}1-e^{-\frac{x^2}{2}}=0

より，全確率1も満たすため，F_Xは分布関数．

参考文献

『現代数理統計学の基礎』(久保川達也　著)