方針

変数変換はまず分布関数から考える．分布関数ができたらそれを微分することで確率密度関数を求める．

答案

Yの分布関数は

\begin{align}
F_Y(y)&= P[Y\leq y]\\
&= P[X^2\leq y]\\
&= P[-\sqrt{y}\leq X\leq\sqrt{y}]\\
&= \int_{-1}^{\sqrt{y}}\frac{1+x}{2}dx-\int_{-1}^{-\sqrt{y}}\frac{1+x}{2}dx\\
&= \left[\frac{x}{2}+x^2\right]_{-1}^{\sqrt{y}}-\left[\frac{x}{2}+x^2\right]_{-1}^{–\sqrt{y}}\\
&= \sqrt{y}\ \ \ (0<y<1)
\end{align}

なので，確率密度関数は，

f_Y(y)=\frac{1}{2\sqrt{y}}

平均，分散は

\begin{align}
\mathbb{E}_{Y\sim f_Y}[Y]&= \int_0^1\frac{y}{2\sqrt{y}}dy\\
&= \left[\frac{1}{2}\frac{2}{3}y^{3/2}\right]_0^1\\
&= \frac{1}{3}\\
\mathbb{E}_{Y\sim f_Y}[Y^2]&= \int_0^1\frac{y^2}{2\sqrt{y}}dy\\
&= \left[\frac{1}{2}\frac{2}{5}y^{5/2}\right]_0^1\\
Var(Y)&= \frac{1}{5}-\frac{1}{9}=\frac{4}{45}
\end{align}

参考文献

『現代数理統計学の基礎』(久保川達也　著)