4.2(易) 確率変数の和の平均，分散

1.方針

Wは0か一の値しか取らないので，確率変数：

Z=WX+(1-W)Y

とは，確率pでW，1-pでYの値をとる．

1.答案

Zの分布関数は，

\begin{align}
F_Z(z)&=P[Z\leq z]\\
&= P[WX+(1-W)Y\leq z]\\
&= P[W=1,Z\leq z]+P[W=0,Y\leq z]\\
&= pP[X\leq z]+(1-p)P[Y\leq z]\\
&= pf_X(z)+(1-p)f_Y(z)
\end{align}

3行目=4行目はWがX,Yと独立であることより成立．確率密度関数は，

f_Z(z)=pf_X(z)+(1-p)f_Y(z)

期待値は，

\begin{align}
\mathbb{E}_{Z\sim f_Z}[Z]&= \int zf_Z(z)dz\\
&= \int z\{pf_X(z)+(1-p)f_Y(z)\}dz\\
&= p\int zf_X(z)dz+(1-p)\int zf_Y(z)dz\\
&= p\mu+(1-p)\mu=\mu
\end{align}

分散は，

\begin{align}
Var(Z)&= \int (z-\mu)^2f_Z(z)dz\\
&= \int(z-\mu)^2\{pf_X(z)+(1-p)f_Y(z)\}dz\\
&= p\int(z-\mu)^2f_X(z)dz+(1-p)\int(z-\mu)^2f_Y(z)dz\\
&= p\sigma^2+(1-p)\sigma^2=\sigma^2
\end{align}

2.方針

和の期待値＝期待値の和

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\mathbb{E}_{X,Y\sim f_{X,Y}}[X+Y]=\mathbb{E}_{X\sim f_X}[X]+\mathbb{E}_{Y\sim f_Y}[Y]

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(証明)

\begin{align}
\mathbb{E}_{X,Y\sim f_{X,Y}}[X+Y]&= \int\int(x+y)f_{X,Y}(x,y)dxdy\\
&= \int\int xf_{X,Y}(x,y)dxdy+\int\int yf_{X,Y}(x,y)dxdy\\
&= \int x\{\int f_{X,Y}(x,y)dy\}dx+\int y\{\int f_{X,Y}(x,y)dx\}dy\\
&= \int xf_X(x)dx+\int yf_Y(y)dy
\end{align}

和の分散=分散の和＋共分散×2

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Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y)

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(証明)

\mu_X=\mathbb{E}_{X\sim f_X}[X],\ \mu_Y=\mathbb{E}_{Y\sim f_Y}[Y]

と置くと，

\begin{align}
Var(X+Y)&= \mathbb{E}_{X,Y\sim f_{X,Y}}[(X+Y)^2]-(\mathbb{E}_{X,Y\sim f_{X,Y}}[X+Y])^2\\
&= \mathbb{E}_{X,Y\sim f_{X,Y}}[X^2+2XY+Y^2]-(\mu_X^2+2\mu_X\mu_Y+\mu_Y^2)\\
&= (\mathbb{E}_{X\sim f_X}[X^2]-\mu_X)^2+(\mathbb{E}_{Y\sim f_Y}[Y^2]-\mu_Y)^2+2\{\mathbb{E}_{X,Y\sim f_{X,Y}}[XY]-\mu_X\mu_Y\}\\
&= Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y)
\end{align}

問題では，二つ目の分散に関する公式を使う．

答案

Var(U)をwで平方完成して，

\begin{align}
Var(U)&= Var(wX+(1-w)Y)\\
&= \mathbb{E}_{X,Y\sim f_{X,Y}}[\{wX+(1-w)Y\}^2]-\{\mathbb{E}_{X,Y\sim f_{X,Y}}[wX+(1-w)Y]\}^2\\
&= \mathbb{E}_{X,Y\sim f_{X,Y}}[w^2X^2+2w(1-w)XY+(1-w)^2Y^2]-\{w\mu_X+(1-w)\mu_Y\}^2\\
&= w^2(\mathbb{E}_{X\sim f_X}[X^2]-\mu^2)+(1-w)^2(\mathbb{E}_{Y\sim f_Y}[Y^2]-\mu_Y)^2\\
& \ \ \ +2w(1-w)\{\mathbb{E}_{X,Y\sim f_{X,Y}}[XY]-\mu_X\mu_Y\}\\
&= w^2Var(X)+(1-w)^2Var(Y)+2w(1-w)Cov(X,Y)\\
&= w^2\sigma^2+(1-w)^2\sigma^2+2w(1-w)\rho\sigma^2\\
&= 2\sigma-2(1-\rho)(w-\frac{1}{2})^2+\frac{1}{2}(\sigma^2+\rho)
\end{align}

ゆえ，w=1/2の時，Var(U)は最小値：

\frac{1}{2}(\sigma^2+\rho)

を取る．

参考文献

• 『現代数理統計学の基礎』(久保川達也　著)