方針
離散一様分布とは，確率変数が取りうる有限集合の全ての値について，確率が同様に確からしい場合の分布，すなわち異なるN通りの状態をとる確率変数Xが各状態を取る確率が等しく1/Nであるような分布である．確率密度関数は，
f_X(x)=\frac{1}{N}\ \ \ \ x=1,...,N
期待値は，
\begin{align}
\mathbb{E}[X]&= \sum_{x=1}^N\frac{x}{N}\\
&= \frac{1+...+N}{N}\\
&= \frac{N(N+1)}{2N}\\
&= \frac{N+1}{2}
\end{align}
分散は，
\begin{align}
Var(X)&= \sum_{x=1}^N\frac{1}{N}(x-\frac{N+1}{2})^2\\
&= \frac{1}{N}\sum_{x=1}^N\{x^2-(N+1)x+\frac{(N+1)^2}{4}\}\\
&= \frac{1}{N}\{\frac{1}{6}N(N+1)(2N+1)-\frac{N(N+1)^2}{2}+\frac{N(N+1)^2}{4}\}\\
&= \frac{2(N+1)(2N+1)-3(N+1)^2}{12}\\
&= \frac{(N+1)(N-1)}{12}
\end{align}
本問では確率母関数から平均，分散を導出する．
答案
確率母関数は，
\begin{align}
G_X(s)&= \mathbb{E}_{X\sim f_X}[s^X]\\
&= \sum_{x=1}^N\frac{s^x}{N}\\
&= \frac{s(1-s^N)}{N(1-s)}\tag{1}
\end{align}
ここで，
1-s^N=(1-s)(1+s+...+s^{N-1})
であるから，
\begin{align}
(1)&= \frac{s(1+s+...+s^{N-1})}{N}\\
&= \frac{1}{N}\sum_{k=1}^Ns^k
\end{align}
確率母関数を微分してs=1を代入することで期待値を求める．
\begin{align}
\frac{1}{ds}G_X(s)&= \frac{1}{N}\sum_{k=1}^Nks^{k-1}\\
\therefore\mathbb{E}_{X\sim f_X}[X]&= \left.\frac{1}{ds}G_X(s)\right|_{s=1}\\
&= \frac{1}{N}\sum_{k=1}^Nk\\
&= \frac{1}{N}\frac{N(N+1)}{2}\\
&= \frac{N+1}{2}
\end{align}
次に，確率母関数を二階微分してs=1を代入することで2次階乗モーメントを求める．
\begin{align}
\frac{d^2}{ds^2}G_X(s)&= \frac{1}{N}\sum_{k=1}^Nk(k-1)s^{k-2}\\
\therefore\mathbb{E}_{X\sim f_X}[X(X-1)]&= \left.\frac{d^2}{ds^2}G_X(s)\right|_{s=1}\\
&= \frac{1}{N}\sum_{k=!}^Nk(k-1)\\
&= \frac{1}{N}\{\frac{1}{6}N(N+1)(2N+1)-\frac{N(N+1)}{2}\}\\
&= \frac{(N+1)(2N+1)}{6}-\frac{N+1}{2}
\end{align}
ゆえ，分散は，
\begin{align}
Var(X)&= \mathbb{E}_{X\sim f_X}[X(X-1)]+\mathbb{E}_{X\sim f_X}[X]-\{\mathbb{E}_{X\sim f_X}[X]\}^2\\
&= \frac{(N+1)(2N+1)}{6}-\frac{N+1}{2}+\frac{N+1}{2}-\frac{(N+1)^2}{4}\\
&= \frac{(N+1)(N-1)}{12}
\end{align}
参考文献
- 『現代数理統計学の基礎』(久保川達也 著)