1.方針
初見で解くのは不可能．
\begin{align}
x=
\begin{cases}
\int_0^xdt,\ \ \ \ \ \ \ \mathrm{if}\ 0<x\\
-\int_x^0dt,\ \ \ \ \mathrm{if}\ x<0
\end{cases}
\end{align}
であることを用いる．
1.答案
\begin{align}
\mathbb{E}_{X\sim f_X}[X]&= \int_{-\infty}^\infty xf_X(x)dx\\
&= \int_0^\infty xf_(x)dx+\int_{-\infty}^0xf_X(x)dx\\
&= \int_0^\infty\{\int_0^xdt f_X(x)\}dx+\int_{-\infty}^0\{-\int_x^0dtf_X(x)\}dx\\
&= \int_0^\infty dx\int_0^xdtf_X(x)-\int_{-\infty}^0dx\int_x^0dtf_X(x)\\
&= \int_0^\infty dt\int_t^\infty dxf_X(x)-\int_{-\infty}^0dt\int_{-\infty}^tdxf_X(x)\\
&= \int_0^\infty\{\int_t^\infty f_X(x)dx\}dt-\int_{-\infty}^0\{\int_{-\infty}^tf_X(x)dx\}dt\\
&= \int_0^\infty \{1-F_X(x)\}dx-\int_{-\infty}^0F_X(x)dx
\end{align}
2.方針
逆関数になっているのは嫌なので，
\begin{align}
x=F^{-1}_X(t)&\Leftrightarrow t=F_X(x)\\
&\Leftrightarrow t=P[X\leq x]
\end{align}
と置換する．t→xの置換のため，
\frac{dt}{dx}=f_X(x)\Rightarrow dt=f_X(x)dx
を用いる．
2.答案
x=F^-1(t)と置換する．
\int_0^1F_X^{-1}(t)dt=\int_{-\infty}^\infty xf_X(x)dx=\mathbb{E}_{X\sim f_X}[X]
参考文献
- 『現代数理統計学の基礎』(久保川達也 著)