方針
「陽性反応が出る」という事象をA，「陰性反応が出る」という事象をA^cとし，「疾患がある」という事象をB，「疾患がない」という事象をB^cと置き，条件付き確率を計算する．
答案
「陽性反応が出る」という事象をA，「陰性反応が出る」という事象をA^cとし，「疾患がある」という事象をB，「疾患がない」という事象をB^cと置き，条件付き確率を計算する．今，問題文より
P[A|B^c]=\frac{2}{10},\ P[A^c|B]=\frac{1}{10},\ P[B]=\frac{1}{10}
であるから，
\begin{align}
P[B|A]&=\frac{P[A\cap B]}{P[A]}\\
&= \frac{P[A\cap B]}{P[A\cap B]+P[A\cap B^c]}\\
&= \frac{P[B]P[A|B]}{P[B]P[A|B]+P[B^c]P[A|B^c]}\\
&= \frac{P[B](1-P[A^c|B])}{P[B](1-P[A^c|B])+P[B^c]P[A|B^c]}\\
&= \frac{\frac{1}{10}(1-\frac{1}{10})}{\frac{1}{10}(1-\frac{1}{10})+\frac{2}{10}\frac{9}{10}}\\
&= \frac{1}{3}
\end{align}
参考文献
- 『現代数理統計学の基礎』(久保川達也 著)