2.15(標準) 変数変換6

方針

変数変換はまず分布関数から考える．分布関数ができたらそれを微分することで確率密度関数を求める．

答案

Yの分布関数は，

\begin{align}
F_Y(y)&= P[Y\leq y]\\
&= P[X^2\leq y]\\
&= 
\begin{cases}
P[-\sqrt{y}\leq X\leq \sqrt{y}]\ \ \ (0\leq y\leq 1)\\
P[X\leq\sqrt{y}]
\end{cases}
\end{align}

(i)0<=y<=1の時，

\begin{align}
F_Y(y)&= \int_{-1}^{\sqrt{y}}\frac{2}{9}(x+1)dx-\int_{-1}^{-\sqrt{y}}\frac{2}{9}(x+1)dx\\
&= \left[\frac{x^2}{9}+\frac{2}{9}x\right]_{-1}^{\sqrt{y}}-\left[\frac{x^2}{9}+\frac{2}{9}x\right]_{-1}^{-\sqrt{y}}\\
&= (\frac{y}{9}+\frac{2}{9}\sqrt{y}-\frac{1}{9}+\frac{2}{9})-(\frac{y}{9}-\frac{2}{9}\sqrt{y}-\frac{1}{9}+\frac{2}{9})\\
&= \frac{4}{9}\sqrt{y}
\end{align}

より，確率密度関数は

f_Y(y)=\frac{2}{9\sqrt{y}}

(ii)1<=y<=4の時，

\begin{align}
F_Y(y)&= \int_{-1}^{\sqrt{y}}\frac{2}{9}(x+1)dx\\
&= \left[\frac{x^2}{9}+\frac{2}{9}x\right]_{-1}^{\sqrt{y}}\\
&= \frac{y}{9}+\frac{2}{9}\sqrt{y}-\frac{1}{9}+\frac{2}{9}\\
&= \frac{1}{9}(y+2\sqrt{y}+1)
\end{align}

より，確率密度関数は

f_Y(y)=\frac{\sqrt{y}+1}{9\sqrt{y}}

参考文献

• 『現代数理統計学の基礎』(久保川達也　著)