方針
大数法則 (LLN) は標本がiidである場合にのみ使うことができる．本問では，標本平均の中身をうまくiidの確率標本になるよう変形してLLNに持ち込む．
(3)の赤字になっているところはまだ分かっていない．N(0,sigma^2)の加重平均がなぜ0に確率収束するのか分かる人いたら教えてください．
(追記)
赤線部分ですが，以下の通り0に確率収束します．
$Z_i=(\mu_i-\bar{\mu_i})(X_i-\mu_i)$とおけば，
$$
\mathbb{E}[Z_i]=(\mu_i-\bar{\mu_i})\mathbb{E}[(X_i-\mu_i)]=0
$$
なので，LLNにより0に収束．
答案
参考文献
- 『現代数理統計学の基礎』(久保川達也 著)