はじめに
最近、照井先生著「ベイズモデリングによるマーケティング分析」でブランド選択モデルや階層ベイズによる異質性モデリング等を勉強しているので、勉強記録として残しておく。
勉強しながらポストしていくので細切れになるが、all-in-oneなものはGitHubにおいておく。今回は二項ブランド選択ロジットモデルだけだが、最終的には階層ベイズを用いた多項ブランド選択モデルのギブスサンプラー実装まで取り組みたい。
ブランド選択モデル
消費者のブランド選択行動は、効用関数および効用最大化原理を用いてモデル化される。いま、消費者 $h$ ・ブランド $i$ ・時期 $t$ における効用関数 $U_{iht}$ が
$$
U_{iht} = V_{iht} + e_{iht}
$$
のように書けると仮定する。ただし、 $V_{iht}$は諸々のマーケティング活動等によって規定される確定項であり、 $e_{iht}$ はその他の確率的部分（例：心理的な揺れ）を表している。効用最大化原理とは、「消費者は自身の効用を最大にするような選択肢を取る」という仮定のことである。消費者は常に合理的なのか？と問われれば恐らくNOだが、効用関数には確率的揺れを仮定しているため、そのあたりの「場当たり性」のようなものも考慮されている。
２項ブランド選択モデル
いま、ブランドAとBの選択肢があるとする。またシンプルに確定項が $V_{iht} = p_{iht} \beta$ のように各ブランドの値段によってのみ規定されるとする。この場合ブランドAを選択する確率は
$$
P(p_{Aht}\beta + e_{Aht} > p_{Bht}\beta + e_{Bht}) = P(e_{Aht} - e_{Bht} > -(p_{Aht}-p_{Bht})\beta)
$$
と書ける。確率変数 $e_{Aht}-e_{Bht}$に極値分布を仮定する場合をロジットモデル、正規分布の場合をプロビットモデルと呼ぶ。途中式は省略するが、ロジットモデルの場合のブランド選択確率は
\begin{align}
P(\text{Choice A}) &= (1 + \exp\{-(p_{Aht}-p_{Bht})\beta\})^{-1} \\
P(\text{Choice B}) &= 1 - P(\text{Choice A})
\end{align}
と導出できる。簡単な実験により、最尤推定法でパラメータ $\beta$ を求めてみよう。
# Define Choices
choices <- c(1,0,0,1,1) # 1:A, 0:B
price_A <- c(100, 120, 120, 100, 100)
price_B <- c(110, 110, 110, 110, 110)
# Log-Likelihood of Logit model
log_likelihood <- function(beta){
prob_A <- 1 / (1 + exp(-(price_A - price_B) * beta))
loglikelihood <- sum(choices * log(prob_A) + (1-choices) * log(1 - prob_A))
return(-loglikelihood)
}
# Estimation using optim function
init_value <- 0
result <- optim(par = init_value, fn = log_likelihood, method = "BFGS")
> print(result$par)
[1] -2.15183
$\beta$がマイナスということは、値段が低い方が相対的に選択されやすいことを意味しており、推定は上手く行っていそうだ。
本モデルは切片項(マーケティングサイエンスの文脈ではブランド固有の価値と解釈される重要な項)も無ければ説明変数も価格のみというシンプルなものだったが、ブランド選択モデルのチュートリアルとしては良かったと思う。