戯れに証明してみただけなので証明が正しいことは保証しません
示す式
\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin(x+\Delta x)- \sin(x)}{\Delta x} = \cos x
(G)
式変形
式Gの左辺を三角関数の加法定理で変形していくと
\begin{align}
(左辺） &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin(x) \cos(\Delta x) + \cos(x) \sin(\Delta x) - \sin x}{\Delta x} \\
&= \sin x \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\cos \Delta x - 1}{\Delta x}
+ \cos x \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin \Delta x}{\Delta x} \\
&= \sin x \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-\sin \Delta x}{1 + \cos \Delta x} \frac{\sin \Delta x}{\Delta x}
+ \cos x \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin \Delta x}{\Delta x} \\
\end{align}
とsinc関数(sinx/x)の０点の極限の値を用いた形に変形できる。ここで、
\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin \Delta x}{\Delta x} \to 1 (1)
が成立すれば、上記の式は
(左辺) = \cos x
に変形でき、sinx の微分がcosxであることが言える。(このあたりは極限の操作に関して、厳密な議論が必要そうだがしていない。）
式1の証明
ここでは初等幾何を用いて以下の不等式を証明することで、式1を示す。
\cos \Delta x < \frac{sin \Delta x}{\Delta x} < cos \frac{\Delta x}{2} (2)
式(2)が成立するとすれば、不等式の最左辺、最右辺ともに⊿x -> 0の極限でどちらも1に収束するため、式(1)が言える。
左側の不等式
以下の図を用いて示す。
∠BAC'が⊿x であることから、
|AB| = |AC'| \cos \Delta x
弧AC'と辺AC'の長さを比べることで
\begin{align}
&|弧AC| < |AC'| \\
\Leftrightarrow
&\Delta x < \frac{|AB|}{ \cos \Delta x } \\
\Leftrightarrow
&\cos \Delta x < \frac{\sin \Delta x}{\Delta x}
\end{align}
右側の不等式
∠BACが⊿x/2 であることから、
|AB| = |AC| \cos \frac{\Delta x}{2}
弧ACと辺ACの長さを比べることで
\begin{align}
&|AC| < |弧AC| \\
\Leftrightarrow
& \frac{|AB|}{ \cos \Delta \frac{x}{2}} < \Delta x \\
\Leftrightarrow
& \frac{\sin \Delta x}{\Delta x} < \cos \frac{\Delta x}{2}
\end{align}
これにより、式2の左右の不等式が示された。
Q.E.D