はじめに
大学の課題で，ベイズの定理の基礎を学んだのでメモしました．
ベイズの定理
定義式
P(Y|X) = \frac{P(Y)P(X|Y)}{P(X)}\\
\Bigr( P(X|Y)：事後確率、P(Y|X)：尤度、P(X)：事前確率 \Bigr)
- $P(Y)$: 事象Xが起きる前の事象Yが起きる確率（事前確率）
- $P(Y|X)$: 事象Xが起こった条件の下で事象Yが起きる確率（事後確率）
事象Xを「原因」、事象Yを「結果」と見れば、「原因Xが起きた時に結果Yが起こる確率$P(Y|X)$」を用いて、「結果Yが起きた時に原因Xであった確率$P(X|Y)$」を求めるというのがベイズの定理である。
すなわち、$P(Y|X)$という原因→結果という順方向の確率から、$P(X|Y)$という結果→原因という逆方向の確率を求めていることに等しい。
実際、ベイズの定理は、因果関係が分からないものにも適用することができる。
ベイズの定理の導出
まず、条件付き確率の定義より、$P(Y|X)$は
P(Y|X) = \frac{P(X\cap Y)}{P(X)}
上式の両辺にP(X)をかけて
P(X\cap Y) = P(Y|X)P(X)
また、$P(X|Y)$も条件確率の定義より
P(X|Y) = \frac{P(X\cap Y)}{P(Y)}
よって、
P(X|Y) = \frac{P(Y|X)P(X)}{P(Y)}
となり、ベイズの定理は導出される。
まとめ
ベイズの定理の基礎について学びました．ベイズの定理は，迷惑メールを自動的に発見・分類してくれるフィルタリング機能などに応用されているようですね．