画像のエントロピーをpythonで求めてみた

はじめに

最近、大学の研究室で画像処理を専門とすることになり、画像のエントロピーについて復習する機会があったのでまとめました。

エントロピーとは

エントロピーは「乱雑さ」を表し、熱力学や統計力学でも出てきます。また、エントロピーは画像の情報量を表す指標としても使われます。

画像のエントロピーの定義は以下のようになります。
画像の諧調（レベル）が 0 ~ (k-1) の K値画像で、レベル $i$ の出現確率が$P_i$とすると、1画素の情報量は
$$
I = log_2(1/P_i) = -log_2P_i　[bit]
$$
1画面全体の情報量がエントロピーなので、全画素数を$N$, レベル$i$の画素数を$N_i$とすると、$P_i$は
$$
P_i = N_i/N
$$
エントロピーは
$$
H = -\sum P_ilog_2P_i　[bit/画素]
$$

2値画像（白黒画像）のエントロピー関数を求める

2値画像のエントロピー関数を描画してみました。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

P0 = np.arange(0,1, 0.01) # レベル0の出現確率P0
P1 = 1 - P0 # レベル1の出現確率P1

# エントロピーの算出
H = -P0 * np.log2(P0) -P1 * np.log2(P1)

# グラフ描画設定
plt.plot(P0, H)
plt.xlabel("P0")
plt.ylabel("H")
plt.title('Entropy')

# ラベルの描画
plt.legend()
# グラフの描画実行
plt.show()

実行結果

上図より、$P_0 = 0.0$ or $P_0 = 1.0$ に近いほどエントロピーは小さく、$P_0 = 0.5$ の時にエントロピーは最大になることが分かります。
すなわち、白 or 黒一色に近いほどエントロピーは小さく、白と黒の出現確率が50%ずつの時にエントロピーは大きくなるということですね。

このことは、画像の色使いが複雑なほど情報量は多く、画像の色使いが単純なほど情報量が少ないということを意味し、感覚的にも分かりますよね。

白黒画像のエントロピーを求める

次に、白黒のlenaさんの画像のエントロピーを求めてみます。

import cv2
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

img = cv2.imread('./img_data/lena_gray.jpg') #ファイルのバスは適宜変えてください
height, width, _ = img.shape

# ヒストグラム（各色の画素数）の算出
histgram = [0]*256
for i in range(height):
    for j in range(width):
        histgram[img[i, j, 0]] += 1

# エントロピーの算出
size = height * width
entropy = 0

for i in range(256):
    # レベルiの出現確率p
    p = histgram[i]/size
    if p == 0:
        continue
    entropy -= p*np.log2(p)

plt.imshow(img)
print('エントロピー：{}'.format(entropy))

実行結果

まとめ

エントロピーの超基本のみしか書けませんでしたが、プログラミングを通して復習できてよかったです。何か間違いがあれば、ご指摘お願いいたします。