pythonによるStandard受験編数1,2(247から250)

247

f(x)=x^3 + ax^2 + bx+c  \\
g(x) = x+3

とする

曲線y=f(x)は直線y=x+3と点P(-1,2)で接している。
また、y=f(x)上の点Ｑ(2,f(2)における接点は点Ｐを通る。
このとき定数a,b,cを求めよ

monda247.py

#-------------------
#247の検算
#--------------
from sympy import *
x=Symbol("x") 
a=Symbol("a") 
b=Symbol("b") 
c=Symbol("c") 
f=x**3+a*x**2+b*x+c
f1=diff(x**3 + a*x*x + b*x+c, x)
exp1=f.subs(x, -1)#f(-1)
exp2=f1.subs(x, -1)#f'(-1)
exp1=exp1-2#f(-1)=2
exp2=exp2-1#f'(-1)=1

print("f(-1)=2 →",exp1)
print("f(-1)=1 →",exp2)
katamuki=f1.subs(x,2)
katamuki

exp3=2-f.subs(x,2)-katamuki*(-1-2)
exp3

print(solve([expr1, expr2,expr3]))

248
aは実数とする。2つの曲線

f(x)=x^3 + 2ax^2 -3a^2-4  \\
g(x) = ax^2-2a^2-3a

はある点で両方の曲線に共通な接線をもつ。
このときaの値を求めよ

monda248.py

#248
from sympy import *
x=Symbol("x") 
a=Symbol("a") 
f=x**3+2*a*x*x-3*a*a*x-4
g=a*x*x-2*a*a*x-3*a
f1=diff(f,x)
g1=diff(g,x)
print("f1=",f1)
print("g1=",g1)
expr1=f-g
expr2=f1-g1
print(solve([expr1, expr2]))

249
a,b,cを実数として

f(x)=x^3 + ax^2 +bx+c  \\

とおく。曲線C:

y=f(x)

上に異なる2点P

P(s.f(s)),Q(t,f(t))

がある
(1)PにおけるCの接線とQにおけるCの接線が平行になるための条件を

s,t,a の関係式として求めよ

monda249.py

#249
from sympy import *
x=Symbol("x") 
a=Symbol("a") 
b=Symbol("b") 
c=Symbol("c")
s=Symbol("s")
t=Symbol("t")

f=x**3+2*a*x**2+b*x+c
f1=diff(x**3 + a*x*x + b*x+c, x)

expr1=f1.subs(x, s)
expr2=f1.subs(x, t)
expr3=expr1-expr2
expr4=factor(expr1-expr2)
print(expr4)
print(solve([expr3],s))

250

曲線C:f(x)=x^3 -kx上の点P(a,a^3-ka)\\
における接線がｌが点Pと異なる点Qで曲線Cが交わっている。\\
さらに、点Qにおける曲線Cの接線が直線ｌと直交している。

(1)点Qの座標をa,kで表せ

monda248.py

```Python:monda250.py
from sympy import *
x=Symbol("x") 
a=Symbol("a") 
p=Symbol("p")
k=Symbol("k")

f=x**3-k*x#f(x)の定義
f1=diff(f, x)#f'(x)を求める


m=f1.subs(x, a)#f'(a)を求める。接線の傾きx=aにおける
yy=f.subs(x,a)#f(a)を求める
expr1=m*(x-a)+yy#接線の方程式
expand(expr1)#式の展開


f-expr1#接線の式=f(x)を求める
expand(f-expr1)

expand((x-a)*(x-a)*(x-p))#接線があるので重解があるので以下の方程式になるので展開しとく

expand(expr1.subs(x,-2*a))#係数比較するとｐ=-2aなのでこれを接線の式に入れてｙ座標を求める