成功するまでの回数の期待値その②

\begin{align}
&~~~あるお菓子の箱に，おまけが必ず1つ入っています．\\
&おまけには\text{A}と\text{B}の2種類あり，\text{A}が入っている確率はa，\\
&\text{B}が入っている確率はbです（a\not=0，b\not=0，a+b=1）．\\
&~~~その2種類がそろうまでそのお菓子を買い続けるとします．\\
&~~~お菓子を買う回数の期待値は？\\
\\
&~~~1箱目で\text{A}が出る確率はaで，その1箱ののち，\text{B}が出るまでの\\
&箱数の期待値は\frac{1}{b}（その①参照）．\\
&~~~1箱目で\text{B}が出る確率はbで，その1箱ののち，\text{A}がでるまでの\\
&箱数の期待値は\frac{1}{a}．\\
&~~~したがって，求める期待値Eは，\\
&~~~~~~E=a\left(1+\frac{1}{b}\right)+b\left(\frac{1}{a}\right)\\
&~~~~~~~~~=1+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}
\end{align}