成功するまでの回数の期待値その①

\begin{align}
&~~~あるモンスターとの戦闘でアイテムを入手できる確率が，\\
&つねにpであるとします（p\not=0）．\\
&~~~アイテムを入手できるまで戦闘する回数の期待値は？\\
\\
&~~~期待値をEとする．\\
&~~~1回目で入手できる確率はpで，入手できたらその1回で終わり．\\
&~~~1回目で入手できない確率は(1-p)で，入手できなかったらその1回\\
&のあとさらにE回の戦闘が必要．\\
&~~~したがって，\\
&~~~~~~E=p\cdot1+(1-p)(1+E)=1+E-Ep\\
&~~~~~~\therefore E=\frac{1}{p}
\end{align}