成功するまでの回数の期待値その③

\begin{align}
&~~~あるお菓子の箱に，おまけとして指人形が必ず1つ入っています．\\
&指人形には10種類があり，どれも同じ確率で入っています．\\
&~~~その10種類がそろうまでそのお菓子を買い続けるとします．\\
&~~~お菓子を買う回数の個数の期待値は？\\
\\
&~~~1種類目は1箱目で入手．\\
&~~~2箱目以降で2種類目を入手する確率はつねに\frac{9}{10}．ゆえに2種類目\\
&を入手するまでに買う箱数の期待値は\frac{10}{9}（その①参照）．\\
&~~~2種類目を入手ののち，3種類目を入手する確率はつねに\frac{8}{10}．\\
&ゆえに3種類目を入手するまでに買う箱数の期待値は\frac{10}{8}．\\
&（中略）\\
&~~~9種類目を入手ののち，10種類目を入手する確率はつねに\frac{1}{10}．\\
&ゆえに10種類目を入手するまでに買う箱数の期待値は\frac{10}{1}．\\
&したがって答えは，\\
&~~~~~~1+\frac{10}{9}+\frac{10}{8}+\frac{10}{7}+\dots+\frac{10}{2}+\frac{10}{1}=\frac{7381}{252}
\end{align}