どちらもキーバリューで管理できますが使い分けについて調べたり考えてみたので記載。

Map

・キーにString、シンボル以外も使える
・iterableである
・プロトタイプチェーンによるプロパティはない

const mp = new Map();
mp.set("hoge", "hogeValue");
mp.set(1, "one");
mp.set(true, true);

mp.forEach((v, k) => {
  console.log(k); // hoge, 1, true
  console.log(v); // hogeValue, one, true
});

// こういうふうにロジックを入れることも可能
mp.set("fn", () => console.log("execute"));
mp.get("fn")(); // execute

もちろんtypescriptであれば下記のように型定義もできます

const mp = new Map<string, string>();
mp.set(1, "one"); // エラー. Argument of type 'number' is not assignable to parameter of type 'string'.

object（インデックスシグネチャ）

・キーにstring, シンボルしか使えない
・iterableでない
・プロトタイプチェーンによるプロパティが存在する

const obj = {
  hoge: 'hogeValue',
  1: 'one',
}

// objectでイテレートしたい場合は下記のように
Object.entries(obj).forEach(([k, v]) => {
  console.log(k); // hoge, 1
  console.log(v); // hogeValue, one
});

どっちが良いん？

基本的にはMapを使っていくべきと感じました。
ただ、私は一意なキーバリューを定数として定義し、区分値の変換として使うことが多く、その際はobjectを使うとエラー出してくれるので重宝しています。
~~（プログラムミスによる定義重複を検出できます）~~

すみません、Javascriptだと後勝ちとなるようです。。。普段Typescriptでしか書いてないので気づきませんでした。。。
Typescriptだとtscやlinterでエラーとしてくれるので、この書き方をよくしています。
TypescriptはEnumあるじゃん！という意見もあると思うのでEnumではなくobjectを使う理由は別途まとめようと思います（ググるといっぱい出てくるけど。。。）

const STATUS_OBJ = {
  success: "成功",
  warn: "警告",
  success: "成功2", // エラー. An object literal cannot have multiple properties with the same name.
}

const STATUS_MAP = new Map(
  [
    ["success", "成功"],
    ["warn", "警告"],
    ["success", "成功2"] // エラー出てほしいけど出ない。後から定義されたもので上書きされる
  ]
);

以上です。他の視点があれば教えてください。