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Quaternionの数学的理解メモ その2

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Quaternionの数学的理解メモ その1

回転行列の三次元拡張

オイラー角(ロール・ピッチ・ヨー)

T_{ 1 }(\theta )=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & cos{ \theta  } & sin{ \theta  } \\ 0 & -sin{ \theta  } & cos{ \theta  } \end{pmatrix}
T_{ 2 }(\theta )=\begin{pmatrix} cos{ \theta  } & 0 & -sin{ \theta  } \\ 0 & 1 & 0 \\ sin{ \theta  } & 0 & cos{ \theta  } \end{pmatrix}
T_{ 3 }(\theta )=\begin{pmatrix} cos{ \theta  } & sin{ \theta  } & 0 \\ -sin{ \theta  } & cos{ \theta  } & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

二次元の回転行列と同様に、

T_{ i }(\theta )=exp(J_{ i }\theta )

と書ける。(J:生成子)

J_{ 1 }=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}
J_{ 2 }=\begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}
J_{ 3 }=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

複素行列

H^{ \dagger  }≡複素行列Hを転置+それぞれの複素数を共役複素数化したもの

とする。

エルミート行列

H^{ \dagger }=H

のときの複素行列Hをエルミート行列と呼び、

H^{ \dagger }=-H

のときの複素行列Hを逆エルミート行列と呼ぶ。

ユニタリ行列

実数の行列Mにて、

M^{ -1  }=M^t

のときのMを直交行列と呼んだが、複素行列では

\gamma^{ -1  }=\gamma^{ \dagger  }

以上が成り立つとき、γをユニタリ行列と呼ぶ。
2x2行列の時は、

\gamma =\begin{pmatrix} \alpha  & \beta  \\ -\beta ^{ * } & \alpha ^{ * } \end{pmatrix}

例えば上のような形をとる。ただし以下を満たす。

\left\| \alpha  \right\| ^{ 2 }+\left\| \beta  \right\| ^{ 2 }=1

パウリ行列

さて上のユニタリ行列γに対し、

\alpha =[[u_0,u_3]]\quad \beta =[[u_2,u_1]]\quad u_i∈R

と置くと、

\begin{matrix} \gamma  & = & u_{ 0 }E+iu_{ 3 }\sigma _{ 3 }+iu_{ 2 }\sigma _{ 2 }+iu_{ 1 }\sigma _{ 1 } \\  & = & [[uE,\quad u_{ 3 }\sigma _{ 3 }+u_{ 2 }\sigma _{ 2 }+u_{ 1 }\sigma _{ 1 }]] \end{matrix}
\sigma _{ 1 }≡\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\quad \sigma _{ 2 }≡\begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}\quad \sigma _{ 3 }≡\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

と変形できる。この時のσをパウリ行列と呼ぶ。

パウリ行列と単位行列は互いに直行しているため、基底に取ることが出来る。

またパウリ行列は複素数の行列表示の時と同じようにオイラーの公式が成立する。

exp[[0,\quad \sigma _{ 1 }\theta + \sigma _{ 2 }\theta + \sigma _{ 3 }\theta ]]=[[Ecos{ \theta ,\quad \sigma _{ 1 }sin\theta + \sigma _{ 2 }sin\theta + \sigma _{ 3 }sin\theta}]]

複素行列からクォータニオンへ

X=[[0,\quad \sigma _{ 1 }x_{ 1 } + \sigma _{ 2 }x_{ 2 } + \sigma _{ 3 }x_{ 3 }]]
Y=[[0,\quad \sigma _{ 1 }y_{ 1 } + \sigma _{ 2 }y_{ 2 } + \sigma _{ 3 }y_{ 3 }]]

とする。(X,Yは逆エルミート行列)
このときXとYの積を取ると、

XY=-[[E(x\cdot y),\quad \sigma _{ 1 }\left( x\times y \right) _{ 1 } + \sigma _{ 2 }\left( x\times y \right) _{ 2 } + \sigma _{ 3 }\left( x\times y \right) _{ 3 }]]

となる。X,Y,XYは基底に[[0, σ]]+Eを取ったベクトルと見ることが出来る。このようなものをクォータニオンと呼ぶ。

Quaternionの数学的理解メモ その3

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