回転行列の三次元拡張
オイラー角（ロール・ピッチ・ヨー）
T_{ 1 }(\theta )=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & cos{ \theta } & sin{ \theta } \\ 0 & -sin{ \theta } & cos{ \theta } \end{pmatrix}
T_{ 2 }(\theta )=\begin{pmatrix} cos{ \theta } & 0 & -sin{ \theta } \\ 0 & 1 & 0 \\ sin{ \theta } & 0 & cos{ \theta } \end{pmatrix}
T_{ 3 }(\theta )=\begin{pmatrix} cos{ \theta } & sin{ \theta } & 0 \\ -sin{ \theta } & cos{ \theta } & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
二次元の回転行列と同様に、
T_{ i }(\theta )=exp(J_{ i }\theta )
と書ける。（J:生成子）
J_{ 1 }=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}
J_{ 2 }=\begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}
J_{ 3 }=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
複素行列
H^{ \dagger }≡複素行列Hを転置+それぞれの複素数を共役複素数化したもの
とする。
エルミート行列
H^{ \dagger }=H
のときの複素行列Hをエルミート行列と呼び、
H^{ \dagger }=-H
のときの複素行列Hを逆エルミート行列と呼ぶ。
ユニタリ行列
実数の行列Mにて、
M^{ -1 }=M^t
のときのMを直交行列と呼んだが、複素行列では
\gamma^{ -1 }=\gamma^{ \dagger }
以上が成り立つとき、γをユニタリ行列と呼ぶ。
2x2行列の時は、
\gamma =\begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ -\beta ^{ * } & \alpha ^{ * } \end{pmatrix}
例えば上のような形をとる。ただし以下を満たす。
\left\| \alpha \right\| ^{ 2 }+\left\| \beta \right\| ^{ 2 }=1
パウリ行列
さて上のユニタリ行列γに対し、
\alpha =[[u_0,u_3]]\quad \beta =[[u_2,u_1]]\quad u_i∈R
と置くと、
\begin{matrix} \gamma & = & u_{ 0 }E+iu_{ 3 }\sigma _{ 3 }+iu_{ 2 }\sigma _{ 2 }+iu_{ 1 }\sigma _{ 1 } \\ & = & [[uE,\quad u_{ 3 }\sigma _{ 3 }+u_{ 2 }\sigma _{ 2 }+u_{ 1 }\sigma _{ 1 }]] \end{matrix}
\sigma _{ 1 }≡\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\quad \sigma _{ 2 }≡\begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}\quad \sigma _{ 3 }≡\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
と変形できる。この時のσをパウリ行列と呼ぶ。
パウリ行列と単位行列は互いに直行しているため、基底に取ることが出来る。
またパウリ行列は複素数の行列表示の時と同じようにオイラーの公式が成立する。
exp[[0,\quad \sigma _{ 1 }\theta + \sigma _{ 2 }\theta + \sigma _{ 3 }\theta ]]=[[Ecos{ \theta ,\quad \sigma _{ 1 }sin\theta + \sigma _{ 2 }sin\theta + \sigma _{ 3 }sin\theta}]]
複素行列からクォータニオンへ
X=[[0,\quad \sigma _{ 1 }x_{ 1 } + \sigma _{ 2 }x_{ 2 } + \sigma _{ 3 }x_{ 3 }]]
Y=[[0,\quad \sigma _{ 1 }y_{ 1 } + \sigma _{ 2 }y_{ 2 } + \sigma _{ 3 }y_{ 3 }]]
とする。（X,Yは逆エルミート行列）
このときXとYの積を取ると、
XY=-[[E(x\cdot y),\quad \sigma _{ 1 }\left( x\times y \right) _{ 1 } + \sigma _{ 2 }\left( x\times y \right) _{ 2 } + \sigma _{ 3 }\left( x\times y \right) _{ 3 }]]
となる。X,Y,XYは基底に[[0, σ]]+Eを取ったベクトルと見ることが出来る。このようなものをクォータニオンと呼ぶ。