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Quaternionの数学的理解メモその1

金谷一朗氏の本の読書ノートから

クォータニオンとは

クォータニオンは回転軸(三次元ベクトル)と回転角を表現できる。

A=(w;\quad x\quad y\quad z)=(w;\quad v)

みたいに表記されるが、ベクトルと角度がそのまま入っているわけではなくて、ベクトルが(x y z)、角度がθの時は

A=\left( \cos { \frac { \theta  }{ 2 }  } ;x\sin { \frac { \theta  }{ 2 }  } \quad y\sin { \frac { \theta  }{ 2 }  } \quad z\sin { \frac { \theta  }{ 2 }  }  \right) 

という様になっている。
回転の合成はクォータニオン同士を掛けあわせることで実現し、

A=(a;\quad U)\\ B=(b;\quad V)\\ AB=(ab-U・V;\quad aV+bU+U×V)

となる。
なぜこのような計算で表すことが出来るのか、ということをメモしておく。

前準備:二次元上の回転

定義

複素代数

[[a,b]]≡a+ib\quad (a,b∈R)

と定義する

また Z=[[a,b]] の時

共役

 Z^{ * } ≡ [[ a,-b ]]

ノルム

\left\| Z \right\| ≡\sqrt { a^{ 2 }+b^{ 2 } } 

逆数

Z^{ -1 } ≡ \frac { Z^{ * } }{ \left\| Z \right\|^2  } 

指数

expZ ≡ \sum _{ i=0 }^{ \infty  }{ \frac { Z^{ i } }{ i! }  }

とする。

行列

指数

expM≡\sum _{ i=0 }^{ \infty  }{ \frac { M^{ i } }{ i! }  } \quad (M^{ 0 }≡E)

複素数の行列表示

I^2=-E

となる行列Iを考える。ここでは

I≡\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}

とする。また次の行列を考える。

[[ a,b ]]_{ M } ≡ aE+bI \quad (a,b∈R)

これは[[a,b]]と演算規則は同じであり、つまり同じものと見ることが出来る。よってオイラーの公式もそのまま成り立つ。

exp(I\theta )=E\cos { \theta  } +I\sin { \theta  } 

二次元の回転行列

時計回りを正とすると以下のように書ける

\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos { \theta  }  & \sin { \theta  }  \\ -\sin { \theta  }  & \cos { \theta  }  \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}

この時回転行列T(θ)は

T(\theta ) = [[ \cos{ \theta } ,\sin{ \theta } ]]_{ M }

と書けることが分かる。

複素平面上での回転

X=[[a,b]]のとき

[[ a',b' ]] = [[ \cos { \theta } ,\sin { \theta } ]] [[ a,b ]]

と書ける。回転行列と違い、回転するものとされるものが同格になっていることがわかる。

Quaternionの数学的理解メモ その2

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