\begin{align}
e^x &= 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots \\
&= 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!}(1+\frac{x}{4}\cdots) \\
&= 1 + x + \frac{x^2}{2!}(1 + \frac{x}{3}(1+\frac{x}{4}\cdots)) \\
&= 1 + x(1 + \frac{x}{2}(1 + \frac{x}{3}(1+\frac{x}{4}\cdots))) \\
\end{align}

このように計算することで階乗を計算する必要がなくなり、ループ回数iに階乗計算による制限がなくなることで精度を高めることができる。sin,cosは同様にくくり、r*x*x/(i*(i-1))の項が現れ、4の剰余で1の符号を判断するなどして計算できる。

#include <stdio.h>
int main()
{
    double r = 1; // result
    double x = 1;

    for (int i = 10; i > 0; --i)
        r = r*x/i + 1;

    printf("%.15lf\n", r);

    return 0;
}

美しい。
誰もこのコードを見てネイピア数の計算できるとは思わない（多分）。