一から始める数学⑩

#加法定理

##正弦、余弦の加法定理

半径1の円に点A（cosα、sinα）、点B（cosβ、sinβ）

A,B二点間の距離は

AB^2=横の長さ(cosβ-cosα)^2+縦の長さ(sinβ-sinα)^2\\
cosβ^2-2cosβcosα+cosα^2+
sinβ^2-2sinβsinα+sinα^2\\
X^2+Y^2=1からcosβ^2+sinβ^2, cosα^2+sinα^2
二つあるので2となる。\\
=2-2(cosβcosα+sinβsinα)...①\\

余弦定理から
両辺の二乗と両辺と２で掛ける\\
AB^2=1^2+1^2-2*1*1*cos(α-β)\\
2-2cos(α-β)...②\\

①,②より\\

2-2(cosβcosα+sinβsinα)= 2-2cos(α-β)\\
cos(α-β)= cosβcosα+sinβsinα...ⅰ\\
ⅰを加法定理という。\\
-βに置き換える\\
cosは反対にしても同じ正の値、sinは反対にすると負の値になる\\
cos(α+β)= cosβcosα-sinβsinα...ⅱ\\

\alphaに\frac{\pi}{2}-\alphaを代入する\\

90度- \thetaを行うと、cos(\frac{\pi}{2}-\theta)=sin\theta,cosはsinに、\\
sin(\frac{\pi}{2}- \theta)=cos\theta,sinはcosに変換できる。 \\
cos(\frac{\pi}{2}- \alpha - \beta)= cos[\frac{\pi}{2}- (\alpha + \beta)]\\
=sin(\alpha+\beta)\\
よって、sin(\alpha+\beta)=sin\alpha cos\beta+ cos\alpha sin\beta...ⅲ\\
そこに\betaに-\betaを入れて、\\
sin(\alpha- \beta)=sin\alpha cos\beta - cos\alpha sin\beta...ⅳ\\

例題：\\
①sin150°=sin(90+60)\\
sin90°cos60°+cos90°+sin60°\\
\frac{2}{\sqrt{3}}*\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{3}}*\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}\\
 \\
②cos15°=cos(45-30)\\
cos45°cos30°- sin45° sin30°\\
\frac{1}{\sqrt{2}}*\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}*\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+ \sqrt{2}}{4}

###正接の加法定理

tan(\alpha+ \beta)=\frac{sin (\alpha+ \beta)}{cos (\alpha+ \beta)}\\
=\frac{sin \alpha cos \beta + cos \alpha sin\beta}{cos \alpha cos\beta - sin \alpha sin\beta}\\
分母分子をcos \alpha cos\betaで割る\\

\frac{\frac{sin \alpha cos \beta}{cos \alpha cos\beta} + \frac{cos \alpha sin\beta}{cos \alpha cos\beta}}{1 - \frac{sin \alpha sin\beta}{cos \alpha cos\beta}}\\
= \frac{\frac{sin \alpha}{cos \alpha} + \frac{sin\beta}{cos\beta}}{1 - \frac{sin \alpha sin\beta}{cos \alpha cos\beta}}\\
\frac{sin}{cos}=tanになる性質から\\
\frac{tan\alpha+ tan\beta}{1 - tan\alpha tan\beta}\\

tan(\alpha-\beta)=
\frac{tan\alpha - tan\beta}{1 + tan\alpha tan\beta}\\


tanマイナスで表すと、tan(-\theta)= -tan\theta\\

##2直線のなす角

（直線の）傾き=\frac{yの増加量}{xの増加量}\\
m=\frac{m}{1}=tan\theta, つまりm=tan\theta \\
2直線(l,m)のなす角（\theta）を求める\\
\theta = \alpha - \betaの時\\
tan\theta = tan(\alpha - \beta)\\
= \frac{tan\alpha - tan\beta}{1+tan\alpha tan\beta}\\
\alpha=lの傾き, \beta=mの傾きで求めることができる。\\

倍角の公式・半角の公式

sin(\alpha + \beta) = sin\alpha cos\beta + cos\alpha sin\beta\\
\betaを\alphaに置き換えると\\
sin2\alpha = 2sin\alpha cos\alpha\\
cos(\alpha + \beta) = cos\alpha cos\beta - sin\alpha sin\beta\\
\betaを\alphaに置き換えると\\
cos2\alpha = cos^2\alpha - sin^2\alpha\\

cos^2\alpha = 1-sin^2\alphaであるため\\
=1-2sin^2\alpha\\
sin^2\alpha= 1-cos^2\alphaであるため\\
=2cos^2\alpha -1\\

tan(\alpha + \beta) = \frac{tan\alpha + tan\beta}{1 - tan\alpha tan\beta}\\
\betaを\alphaに置き換えると\\
tan2\alpha= \frac{2tan\alpha}{1-tan^2\alpha}

###2倍角の公式
2αの半分のαの値から求めることができる。

sin2\alpha = 2sin\alpha cos\alpha\\

cos2\alpha = cos^2\alpha - sin^2\alpha\\

tan2\alpha= \frac{2tan\alpha}{1-tan^2\alpha}

###半角の公式

cos2\alpha=1-2sin^2\alpha\\
2sin^2\alpha=1-cos2\alpha\\
sin^2\alpha = \frac{1-cos2\alpha}{2}\\

sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1-cos\alpha}{2}...①\\

cos2\alpha = 2cos^2\alpha-1\\
2cos^2\alpha = 1+ cos2\alpha\\
cos^2\alpha = \frac{1+cos2\alpha}{2}\\
cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1+cos\alpha}{2}...②\\

2乗になっているときに半角の公式を使える

①÷②よりtanが求められる

\frac{sin^2 \frac{\alpha}{2}}{cos^2 \frac{\alpha}{2}} = 
\frac{ \frac{1- cos\alpha}{2}}{ \frac{1+cos\alpha}{2}} *2\\
=> tan^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1-cos\alpha}{1+cos\alpha}

##三角関数の合成

asin\theta + bcos\thetaの形の指揮を1種類の三角関数にする時\\
sin(\theta+\alpha) = sin\theta cos\alpha + cos\theta sin\alphaより\\
sin\theta cos\alpha + cos\theta sin\alpha = sin(\theta + \alpha)\\
r倍（半径をかけて）\\
r\ sin\theta cos\alpha + r\ cos\theta sin\alpha = r\ sin(\theta + \alpha)\\
asin\theta + bcos\thetaの形に整える\\
(r\ cos\alpha) sin\theta + (r\ sin\alpha) cos\theta = r\ sin(\theta + \alpha)\\

原点O, x=a, y=bの直線Pを図示して\\
\frac{a}{r}=cos\alpha,\ \frac{b}{r}=sin\alphaより\\
a=r\ cos\alpha,\ b=r\ sin\alpha\\
また半径r= \sqrt{a^2+b^2}

###三角関数の合成　まとめ

asin\theta + bcos\theta = \sqrt{a^2+b^2}\ sin(\theta+\alpha)\\
ただしcos\alpha= \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},\
sin\alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\\

例題：\\
\sqrt{3}sin\theta + cos\thetaを合成\\
点Pを(\sqrt{3},1)とする。\\
OP=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}=2\\
OPとx軸のなす角\alphaは\alpha= \frac{\pi}{6}\\
よって\sqrt{3}sin\theta + cos\theta=2sin(\theta + \frac{\pi}{6})