みなさん、グーグルはご存知ですね？
グーグルはグーゴル(googol:$10^{100}$)の綴りを間違えて、結果的にグーグルになったという話です。
指数タワー
さて、このグーゴルをどんどん大きくしていくことをやっていきましょう。
累乗を大きくするには右肩の数を大きくしていけばいいわけです。
10^{1000},10^{10000},10^{100000},10^{1000000}\cdots
数字が大きくなると書くのも疲れますね。なので右肩の数も指数表記にしましょう。
10^{10^3},10^{10^4},10^{10^5},10^{10^6}\cdots
ここで気をつけないといけないのは、$10^{10^3}$は$(10^{10})^3$ではなく、$10^{(10^3)}$と言う風に右から計算していくというところです。
更に増やしていくと、
10^{10^9},10^{10^{10}},\cdots10^{10^{100}},10^{10^{1000}}\cdots
こうなってくるので$100=10^2,1000=10^3$と書き換えてまたドンドコ増やしていきましょう。
10^{10^{10^2}},10^{10^{10^3}},10^{10^{10^4}},\cdots
このように、指数が右肩に連なった形を指数タワーといいます。
$10^{10^{10^4}}$とかでも十分大きいのですが、爆発力が足りません。
もっと手っ取り早く数を大きくしていくには……、指数タワーの段数を増やしていけば増加スピードが上がりますね。
やってみましょう。
10^{10^{10^{10}}},10^{10^{10^{10^{10}}}},10^{10^{10^{10^{10^{10}}}}},10^{10^{10^{10^{10^{10^{10}}}}}},\cdots
指数タワーの段数が増えていくと、またまた書く手が疲れてくるので、新しい表記法を導入しましょう。
テトレーション
クヌースの矢印表記というものを使って、べき乗を下のように書き表します。
a^b=a \uparrow b
この表記だと$10^{10^{10^{10}}}=10 \uparrow 10 \uparrow 10 \uparrow 10$となります。
これを更に圧縮して、$10 \uparrow 10 \uparrow 10\uparrow 10 =10 \uparrow \uparrow 4$と書くことにします。
この演算のことをテトレーションと言います。
足し算、掛け算、べき乗に続く第4の演算ということでテトラ、繰り返しを意味するイテレーションをくっつけてテトレーションです。
これで$10 \uparrow \uparrow 5,10 \uparrow \uparrow 6,10 \uparrow \uparrow 7,\cdots$と数を大きくしていけます。