詰まったので知見として残しておきます

Supabaseコンテナの起動

% supabase start
Seeding data supabase/seed.sql...
Started supabase local development setup.

         API URL: http://localhost:54321
     GraphQL URL: http://localhost:54321/graphql/v1
          DB URL: postgresql://postgres:postgres@localhost:54322/postgres
      Studio URL: http://localhost:54323
    Inbucket URL: http://localhost:54324

ホストからはpostgresql://postgres:postgres@localhost:54322/postgresでDBにアクセスできる
しかし，NextコンテナからDBにアクセスするにはSupabaseコンテナと同一ネットワークに配置させる必要がある

supabase startするとSupabaseコンテナはsupabase_network_<project_name>というネットワークに割り当てられる
このネットワークにdocker-composeでNextコンテナを所属させる

docker-compose.yml

略
services: 
  next: 
    略
    
    networks:
      - supabase_network_<project_name>

networks:
  supabase_network_<project_name>:
    external: true

疎通確認

コンテナ間の通信ではipアドレスではなくDockerホスト名を指定する

% docker compose exec next /bin/sh
/app # ping -c 3 supabase_db_<project_name>
PING supabase_db_<project_name> (192.168.128.2): 56 data bytes
64 bytes from 192.168.128.2: seq=0 ttl=64 time=0.560 ms
64 bytes from 192.168.128.2: seq=1 ttl=64 time=0.139 ms
64 bytes from 192.168.128.2: seq=2 ttl=64 time=0.198 ms

--- supabase_db_<project_name> ping statistics ---
3 packets transmitted, 3 packets received, 0% packet loss
round-trip min/avg/max = 0.139/0.299/0.560 ms

Postgresへの接続

SupabaseのDBコンテナは54322:5432でフォワードされているので，コンテナの5432番にアクセス

# psql 'postgresql://postgres:postgres@supabase_db_<project_name>:5432/postgres'             
psql (15.2 (Debian 15.2-1.pgdg110+1), server 15.1 (Ubuntu 15.1-1.pgdg20.04+1))
Type "help" for help.

postgres=>

54322番ではなく5432番にアクセスすることに注意．NextコンテナでDATABASE_URLみたいなものを設定するときも5432番を指定する

完了