この記事を読んだ感想です。
https://tnomura9.exblog.jp/28403476/
ちょうどモノイドについて勉強してわかってきた気がするので、具体例をたくさん見て理解を深めていきたいです。
記事に書いてあること
(G,+,+の単位元)=(任意の集合Sの冪集合,和集合(U),{})
は、可換モノイドをなす。
注: 冪集合とは、
S={1,2,3}とすると、
G={{},{1},{2},{3},{1,2},{2,3},{1,3},{1,2,3}}
のこと。
結合法則
a U (b U c) = (a U b) U c
単位元
e={}（空集合）に対して、
x U e = e U x = x
可換（交換法則）
x U y = y U x
うーん、なりたちますね。
特に、和集合が結合法則を満たしたり可換だったり単位元があるのは自明な気がするので、面白いのは冪集合が和集合に対して閉じている（結果が常に同一冪集合の要素である）ことですかね。
コメント: 以後、Uを+で表現する。
可換モノイドの嬉しいのは、前順序が定まることらしいです。
さらに可換モノイドの場合、次のように前順序 ≦ が定まる。
前順序： x ≦ y <=> x + z = y ∃z ∈ M
冪集合の場合包含関係 ⊂ は ∪ で定められることになる。
前順序をwikiより引用
P を集合とし、≤ を P 上で定義された二項関係とする。
≤ が反射律と推移律を満たすとき、≤ を P 上の前順序という。
反射率と推移律
反射律：P の任意の元 a に対し、a ≤ a が成り立つ。
推移律：P の任意の元 a, b, c に対し、a ≤ b かつ b ≤ c ならば a ≤ c が成り立つ。
ふむ。なるほど、可換モノイドの定理として、前順序が存在する、っていうのがあるんですかね？
一般的には分からないので、まずは今回の冪集合の例について考えてみます。
x ≦ yとはすなわち、x ⊂ yということ。
このとき、確かにxにあってyにない要素はない（xの要素は全てyにもある）のだから、zとしてはxに不足している要素のみを選べばいいですし、最悪z=yと取れば必ずzは存在しますね!
たとえば、S={1,2,3,4}で、x ⊂ yの場合、たとえばx={1}, y={1,2,3}なら、zの取り方としてはz={2,3}でもいいですし、雑にz={1,2,3}(yと同じ)でもいいですね。
あと、どうやらこれにより、
冪集合 M の 任意の要素は次のように生成系 { {}, {a}, {b}, {c} } から作り出せる。
というのもあるらしいです。
確かに、任意の冪集合の要素は { {}, {a}, {b}, {c} } で作れそうです(空集合があるのは空集合を作るためでしょう）。
一旦ここまで。
前後の記事を読んでいないので、URLの要素命題以降のところはわかりませんでした。。