他人に PCA（主成分分析）などを説明する際に、いつも「楕円形に分布する乱数を作りたいなぁ」と思う。
あるあるですね。

でもその度に毎回

各軸がガウス分布に従う２次元の変数だから、numpy.random の multivariate_normal か
cov ってなんだっけ・・・、あ、共分散行列か
作りたい形の共分散行列ってどうやって作るんだよ・・・
（適当な値の cov をつっこむ）"covariance is not symmetric positive-semidefinite." いやまぁそうだろうけどね

となって、途方に暮れる。

なので、ちゃんと作って見た。

関数

from numpy.random import Generator, default_rng
from numpy.typing import NDArray

def generate_random_ellipse(
    corrcoef: float,
    degree: float,
    size: int,
    seed: int = 12,
) -> NDArray:
    """楕円形に分布する２次元の乱数を生成する。

    Args:
        corrcoef (float):
            生成する乱数の、角度を回転させる前の相関係数。
            楕円の平べったさになる（回転した後の相関係数はこの値とは異なる）。
            0 だと真ん丸で、1 だと平べったい。
        degree (float):
            楕円の長径の x 軸との角度。
        size (float):
            乱数の個数。
        seed (int):
            乱数シード。

    Returns:
        NDArray: (size, 2) の行列
    """
    rng: Generator = default_rng(seed)
    x: NDArray = rng.normal(loc=0, scale=1, size=size)
    y: NDArray = rng.normal(loc=0, scale=1, size=size)
    z: NDArray = corrcoef * x + (1 - (corrcoef**2)) ** 0.5 * y
    d: NDArray = np.concatenate([x.reshape(1, -1), z.reshape(1, -1)], axis=0)
    rad: float = np.deg2rad(degree - 45)
    m: NDArray = np.array(
        [[np.cos(rad), -np.sin(rad)], [np.sin(rad), np.cos(rad)]]
    )
    return np.dot(m, d).T

相関のある２つの疑似乱数の生成は、こちらを参照させていただきました。
上記で楕円形の乱数を発生させて、それを回転させているだけ。

使ってみる

例えばこんな感じで生成します。

x: NDArray = generate_random_ellipse(corrcoef=0.8, degree=70, size=1000)

するとこんなのが出来ます。

もういつでも楕円形に分布する乱数が作れますね！

ちなみに

作った乱数の相関係数は、もちろん指定した値とは変わってしまいます。

>>> np.corrcoef(x, rowvar=False)

array([[1.        , 0.63088707],
       [0.63088707, 1.        ]])

そしてこの乱数の共分散行列は以下。

>>> np.cov(x, rowvar=False)

array([[0.38510963, 0.49677686],
       [0.49677686, 1.61003414]])

これを numpy.random の multivariate_normal にあげれば、同様の乱数が作れます。

rng: Generator = default_rng(12)
x2: NDArray = rng.multivariate_normal(
    mean=np.array([0, 0]),
    cov=np.array([[0.38510963, 0.49677686], [0.49677686, 1.61003414]]),
    size=1000,
)