始めに

素粒子実験においてエネルギー分解能を求め誤差をつけることは日常茶飯事（多分）。ただ、自分がネットを見たときにその導出方法に対するいい記事が転がっていなかったので、メモ代わりに書いておきます。

この記事で解説すること

エネルギー分解能の定義$R = \frac{\Delta E}{E}$から、誤差伝播式に従って、$\sigma_R = R \sqrt{\left( \frac{\sigma_{\Delta E}}{\Delta E} \right)^2 + \left( \frac{\sigma_E}{E} \right)^2}$を導出する。

エネルギー分解能の誤差伝播の証明

1. エネルギー分解能の定義

エネルギー分解能は次のように定義されます

R = \frac{\Delta E}{E}

ここで：

$\Delta E$: エネルギー幅（FWHM など）
$E$: 中心エネルギー

2. 誤差伝播の一般式

ある関数 $f(x, y)$ が $x$ と $y$ に依存する場合、その誤差 $\sigma_f$ は次の式で与えられます：

\sigma_f^2 = \left( \frac{\partial f}{\partial x} \sigma_x \right)^2 + \left( \frac{\partial f}{\partial y} \sigma_y \right)^2

ここで：

$\frac{\partial f}{\partial x}$ と $\frac{\partial f}{\partial y}$ はそれぞれ $f(x, y)$ を $x$ と $y$ で偏微分したもの。
$\sigma_x$ と $\sigma_y$ はそれぞれ $x$ と $y$ の誤差。

以下のサイトにより詳しい説明があります。

誤差伝搬の法則の導出~図を用いて丁寧に解説~

3. エネルギー分解能の偏微分

$f(x, y)$ に対応する $x = \Delta E$ および $y = E$ とし、エネルギー分解能 $R$ に対して偏微分を求めます。

$\frac{\partial R}{\partial (\Delta E)}$：

\frac{\partial R}{\partial (\Delta E)} = \frac{\partial}{\partial (\Delta E)} \left( \frac{\Delta E}{E} \right) = \frac{1}{E}

$\frac{\partial R}{\partial E}$：

\frac{\partial R}{\partial E} = \frac{\partial}{\partial E} \left( \frac{\Delta E}{E} \right) = -\frac{\Delta E}{E^2}

4. 誤差伝播式に代入

上記の偏微分結果を誤差伝播式に代入します：

\sigma_R^2 = \left( \frac{\partial R}{\partial (\Delta E)} \sigma_{\Delta E} \right)^2 + \left( \frac{\partial R}{\partial E} \sigma_E \right)^2

\sigma_R^2 = \left( \frac{1}{E} \sigma_{\Delta E} \right)^2 + \left( -\frac{\Delta E}{E^2} \sigma_E \right)^2

\sigma_R^2 = \frac{\sigma_{\Delta E}^2}{E^2} + \frac{(\Delta E)^2 \sigma_E^2}{E^4}

5. 変換

エネルギー分解能$R=\frac{\Delta E}{E}$を抜き出し、平方をとります。：

\sigma_R^2 = \frac{\sigma_{\Delta E}^2}{E^2} + \frac{\Delta E^2 \sigma_E^2}{E^4} = \frac{1}{E^2} \left( \sigma_{\Delta E}^2 + \frac{\Delta E^2 \sigma_E^2}{E^2} \right)

\sigma_R = \sqrt{\frac{1}{E^2} \left( \sigma_{\Delta E}^2 + \frac{\Delta E^2 \sigma_E^2}{E^2} \right)} = R \sqrt{\left( \frac{\sigma_{\Delta E}}{\Delta E} \right)^2 + \left( \frac{\sigma_E}{E} \right)^2}

6. 結論

最終的に、エネルギー分解能 $R$ の誤差は以下の式で表されます：

\sigma_R = R \sqrt{\left( \frac{\sigma_{\Delta E}}{\Delta E} \right)^2 + \left( \frac{\sigma_E}{E} \right)^2}

あとがき

この記事はChatGPT 4oで大部分を作成しました。もちろん、内容のチェックはしていますし、文章の微妙な手直しもしています。しかし、書ききるのに10分程度しかかからなくて驚き。ｶｶﾞｸﾉﾁｶﾗｯﾃｽｹﾞｰ!!