パーセプトロンとは？

パーセプトロンとは、複数の信号を入力として受取、一つの信号を出力します。
パーセプトロンの信号は1or0の二値の値です。今回は0を流さない、1を流すに対応させて記述します。

ゲートの種類

AND

x1	x2	y
0	0	0
1	0	0
0	1	0
1	1	1

NAND

x1	x2	y
0	0	1
1	0	1
0	1	1
1	1	0

OR

x1	x2	y
0	0	0
1	0	1
0	1	1
1	1	1

パーセプトロンの実装

簡単な実装

AND関数を定義

def AND(x1, x2)
    w1, w2, theta = 0.5, 0.5, 0.7
    temp = x1*w1+x2*w2
    if tmp <= theta:
        return 0
    elif tmp > theta:
        return 1

パラメータのw1, w2, thetaは関数内で初期化し、重み付きの入力の総和が閾値を超えると1を返し、それ以外は0を返します。それでゃ、図2-2のとおり出力されるか確認しましょう。

AND(0, 0) # 0
AND(1, 0) # 0
AND(0, 1) # 0
AND(1, 1) # 1

期待した挙動が得られました。

同様にNANDもORも実装することができます。

重みとバイアスの導入

y = 0(b+w1x1+w2x2 <= 0)
    1(b+w1x1+w2x2 >  0)

>>>import numpy as np
>>>x = np.array([0,1])
>>>w = np.array([0.5, 0.5])
>>>b = -0.7
>>>w*x
>>>array([0. , 0.5])
>>>np.sum(w*x)
0.5
>>>np.sum(w*x) + b
-0.19999999996

重みとバイアスによる実装

def AND(x1, x2):
   x = np.array([x1, x2])
   w = np.array([0.5, 0.5])
   b = -0.7
   tmp = np.sum(w*x) + b
   if tmp <= 0:
       return 0
   else:
       return 1

def NAND(x1, x2):
   x = np.array([x1, x2])
   w = np.array([-0.5, -0.5])
   b = 0.7
   tmp = np.sum(w*x) + b
   if tmp <= 0
      return 0
   else:
      return 1

def OR(x1, x2):
   x = np.array([x1, x2])
   w = np.array([0.5, 0.5])
   b = -0.2
   tmp = np.sum(w*x) + b
   if tmp <= 0
       return 0
   else:
       return 1

XORゲート

XORゲートは排他的論理和とも呼ばれる論理回路です。

OR

x1	x2	y
0	0	0
1	0	1
0	1	1
1	1	0

この結果を式で表すことが難しい。

多層パーセプトロン

パーセプトロンではXORゲートを表現できませんでした。しかし、それは層を重ねることによって可能になる。

既存ゲートの組み合わせ

NANDとORの組み合わせの値とANDによってXORゲートは表現することが可能。

XOR

|x1|x2|s1|s2|y|
|---|---|---|
|0|0|1|0|0|
|1|0|1|1|1|
|0|1|1|1|1|
|1|1|0|1|0|

XORの実装

def XOR(x1, x2):
    s1 = NAND(x1, x2)
    s2 = OR(x1, x2)
    y = AND(s1, s2)

XOR(0, 0) # 0
XOR(1, 0) # 1
XOR(0, 1) # 1
XOR(1, 1) # 0

XORは2層のパーセプトロンです。
複数重ねたパーセプトロンを多層パーセプトロンと言うことがあります。
層を重ねるとより柔軟な表現を行うことが可能。

まとめ

パーセプトロンは入出力を備えたアルゴリズム。ある入力を与えたら、決まった値が出力される。
パーセプトロンでは、[重み]と[バイアス]をパラメーターとして設定する。
パーセプトロンを用いれば、ANDやORゲートなどの論理回路を表現できる。
XORゲートは単相のパーセプトロンでは表現できない。
2層のパーセプトロンを用いれば、XORゲートを表現することができる。
単相のパーセプトロンは線形領域だけしか表現できないのに対して、多層のパーセプトロンは非線形領域を表現することができる。
多層のパーセプトロンはコンピューターを表現できる。