まず初めにレジストリに対する Docker クライアントの認証に使用するログインコマンドをAWS CLIを使って取得する必要があります。
AWSのサンプルコマンドは下記のようになっています。
$(aws ecr get-login --no-include-email --region ap-northeast-1)
しかしfishの場合は
fish: Command substitutions not allowed
と怒られてしまいますので、
aws ecr get-login --no-include-email --region ap-northeast-1 | fish
としてあげれば、うまくいきます。