前提確認
・確率密度関数から期待値、分散を導出することを目的とする
・その他の知識に詳しくは触れない
確率密度関数
X ~ N(0,1)に従うとき、確率変数Xの確率密度関数は、
f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{x^2}{2})\qquad(-∞<x<∞)
である。
期待値導出
\begin{eqnarray}
E[X] &=& \int_{-∞}^{∞}xf_X(x)dx \\
&=& \int_{-∞}^{∞}x\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{x^2}{2})dx \\
&=& 0
\end{eqnarray}
奇関数なので期待値は0
分散導出
V[X] = E[X^2] - {E[X]}^2
\begin{eqnarray}
E[X^2] &=& \int_{-∞}^{∞}x^2f_X(x)dx \\
&=& \int_{-∞}^{∞}x^2\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{x^2}{2})dx \\
\end{eqnarray}
偶関数なので、
\begin{eqnarray}
E[X^2] &=& 2\int_{0}^{∞}x^2\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{x^2}{2})dx \\
\end{eqnarray}
ここで、
t = x^2/2\qquad(0<t<∞)
と置換する。
\begin{eqnarray}
E[X^2] &=& \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{∞}t^{1/2}e^{-t}dt \\
\end{eqnarray}
ここで、ガンマ関数の定義、性質は、
\begin{eqnarray}
\Gamma(s)&=&\int_{0}^{\infty}t^{s-1}e^{-t}dt\qquad(s>0), \\
\Gamma(s)&=& (s-1)\Gamma(s-1) \\
\Gamma(s)&=& (s-1)!,\\
\Gamma(1/2) &=& \sqrt{\pi}
\end{eqnarray}
であるので、
\begin{eqnarray}
E[X^2] &=& \frac{2}{\sqrt{\pi}}\Gamma(3/2) \\
&=& \frac{2}{\sqrt{\pi}}*1/2* \Gamma(1/2) \\
&=& \frac{2}{\sqrt{\pi}}*1/2* \sqrt{\pi} \\
&=& 1
\end{eqnarray}
よって、
\begin{eqnarray}
V[X] &=& E[X^2] - {E[X]}^2 \\
&=& 1-0^2 \\
&=& 1
\end{eqnarray}