自分向けの備忘録
ManifestFetcherの引数UriDataSourceに対してBASIC認証ヘッダを付加したHttpDataSourceを渡すことで
BASIC認証付きのファイルの再生ができました

private final ManifestFetcher<HlsPlaylist> playlistFetcher;

.......

HlsPlaylistParser parser = new HlsPlaylistParser();
HttpDataSource defaultHttpDataSource = new DefaultHttpDataSource(userAgent, null);

//BASIC認証をHttpDataSourceに追加
String credential = com.squareup.okhttp.Credentials.basic(BuildConfig.USERNAME, BuildConfig.PASSWORD);
defaultHttpDataSource.setRequestProperty("Authorization",credential);

//マニフェストにBASIC認証ヘッダを追加したHttpDataSourcew渡す
playlistFetcher = new ManifestFetcher<>(url, defaultHttpDataSource,parser);

com.google.android.exoplayer.r1.5.9