クラウドとは
クラウドとは、いつでもどこでもインターネット回線を介してアクセス出来る環境のことを指します。
１つ具体例を挙げるとspotifyなどの音楽サービスがあります。
私たちはスマホやパソコンからインターネットを通してspotifyにアクセスし、音楽を聞きますよね！
もしspotifyがクラウド上で動いていない場合、私たちは自分の端末に保存したデータしか使えないため、音楽を聞くことができません。
spotifyがクラウド上で動いているゆえ、クラウド上のデータ（音楽データ）にアクセスでき、自分の端末に音楽をダウンロードすることなく音楽を聞くことが出来るというわけです。
オンプレミスとは
オンプレミスとは、自社でサーバーなどを用意することを指します。
オンプレミスのメリットとしては自社で自由に設計が出来ることがあげられますが、その一方で優れた技術を持つ技術者が必要になってきます。
一方サーバーをレンタルして用意する場合もありますよね。
特にネットワークでアクセスできるクラウド上にあるインフラ（サーバーなど）を利用することをクラウドコンピューティングといいます。
まとめ
オンプレミスは自社でサーバーを用意すること、クラウドはインターネットで接続できるクラウド上のサーバー（インフラ）を借りて利用することです。
この決定的な違いだけでも覚えてもらえると嬉しいです。