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統計学のための数学入門30講をひたすら解いてみる(第1講)

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第1講 基礎事項ア・ラ・カルト

1.1 平方完成

(1.1)

$a$で括って、二乗を作ればよい。

(1.2)

\begin{align}
a(x-A)^2+b(x-B)^2 &= a(x^2-2Ax+A^2)+b(x^2-2Bx+B^2) \\
&= (a+b)x^2-2aAx-2bBx+aA^2+bB^2 \\
&= (a+b)x^2-(2aA+2bB)x+aA^2+bB^2 \\
&= (a+b)(x-\frac{2aA+2bB}{2(a+b)})^2 + aA^2+bB^2 - \frac{(2aA+2bB)^2}{4(a+b)} \\
&= (a+b)(x-\frac{aA+bB}{a+b})^2 + aA^2+bB^2 - \frac{(2aA+2bB)^2}{4(a+b)}
\end{align}
\begin{align}
aA^2+bB^2 - \frac{(2aA+2bB)^2}{4(a+b)} &= aA^2+bB^2 - \frac{4a^2A^2+8abAB+4b^2B^2}{4(a+b)} \\
&= aA^2+bB^2 - \frac{a^2A^2+2abAB+b^2B^2}{a+b} \\
&= \frac{(a+b)(aA^2+bB^2) - a^2A^2 - 2abAB - b^2B^2}{a+b} \\
&= \frac{a^2A^2 + abB^2 + abA^2 + b^2B^2 - a^2A^2 - 2abAB - b^2B^2}{a+b} \\
&= \frac{ab(B^2+ A^2 - 2AB)}{a+b} \\
&= \frac{ab}{a+b}(A-B)^2
\end{align}

(例1.1)

\frac{(x-t)^2}{2v^2} + \frac{(t-m)^2}{2w^2} = \frac{(t-x)^2}{2v^2} + \frac{(t-m)^2}{2w^2}

後は(1.2)を使う。

1.2 2次方程式と2次関数

(1.6)

\begin{align}
& a(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a} \\
\Rightarrow &\quad (x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} \\
\Rightarrow &\quad x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\
\Rightarrow &\quad x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\end{align}

1.3 複素数

共役複素数の性質(1)

$\alpha$ が実数ならば、$\alpha = a$ である。
$\bar\alpha = a$ でもあるので、$\alpha = \bar\alpha$

共役複素数の性質(2)

$\alpha = a+bi$, $\beta = c+di$ とする。
$\alpha + \beta = (a + c) + (b + d)i$ なので、
$\overline{\alpha + \beta} = (a + c) - (b + d)i$ である。
また、
$\bar \alpha = a - bi$, $\bar \beta = c - di$ であるから、
$\bar \alpha + \bar \beta = (a+c) - (b+d) i$ となる。
よって、(2)は成り立つ。
※減算の場合も同様にして計算する。

共役複素数の性質(3)

\begin{align}
\alpha \beta &= (a + bi)(c + di) \\
&= ac + adi + bci - bd \\
&= (ac-bd) + (ad+bc)i
\end{align}

よって、$\overline{\alpha \beta} = (ac-bd) - (ad+bc)i$ である。
また、

\begin{align}
\bar\alpha \bar\beta &= (a - bi)(c - di) \\
&= ac - adi - bci - bd \\
&= (ac-bd) - (ad+bc)i
\end{align}

よって、(3)は成り立つ。

共役複素数の性質(4)

\begin{align}
\frac{\alpha}{\beta} &= \frac{a+bi}{c+di} \\
&= \frac{a+bi}{c+di} * \frac{c-di}{c-di} \\
&= \frac{1}{c^2+d^2} ac - adi + bci + bd \\
&= \frac{1}{c^2+d^2} (ac+bd) - (ad-bc)i
\end{align}

よって、

\begin{align}
\overline{(\frac{\alpha}{\beta})} = \frac{1}{c^2+d^2} (ac+bd) + (ad-bc)i
\end{align}

また、

\begin{align}
\frac{\bar\alpha}{\bar\beta} &= \frac{a-bi}{c-di} \\
&= \frac{a-bi}{c-di} * \frac{c+di}{c+di} \\
&= \frac{1}{c^2+d^2} ac + adi - bci + bd \\
&= \frac{1}{c^2+d^2} (ac+bd) + (ad-bc)i
\end{align}

よって、(4)は成り立つ。

共役複素数の性質(5)

\begin{align}
\alpha \bar\alpha &= (a+bi)(a-bi) \\
&= a^2+b^2 \quad (=|\alpha|^2)
\end{align}

1.4 対数

対数の基本的性質(1)

\log_a a = 1 \Leftrightarrow a^1 = a

対数の基本的性質(2)

\log_a 1 = 0 \Leftrightarrow a^0 = 1

性質(3)は定義より、明らか。

対数の基本的性質(4)

$a^m = M, a^n = N$とすると、$m = \log_a M, n= \log_a N$である。

MN = a^m a^n = a^{m+n} \Leftrightarrow \log_a MN = m+n = \log_a M + \log_a N

対数の基本的性質(5)

\frac{M}{N} = \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \Leftrightarrow \log_a \frac{M}{N} = m-n = \log_a M - \log_a N

対数の基本的性質(6)

M^t = (a^m)^t = a^{mt} \Leftrightarrow \log_a M^t = mt = t\log_a M

1.6 集合

(1.18)

$A \cap B \neq \phi$ のとき、$A \cup B = A + B - A \cap B$であるから、

\begin{align}
n(A) + n(B) = n(A \cup B) + n(A \cap B) &\Leftrightarrow n(A) + n(B) = n(A + B - A \cap B) + + n(A \cap B) \\
&\Leftrightarrow n(A) + n(B) = n(A) + n(B) -n(A \cap B) + n(A \cap B) \\
&\Leftrightarrow n(A) + n(B) = n(A) + n(B)
\end{align} 

$A \cap B = \phi$ のとき、$n(A) + n(B) = n(A \cup B) + n(\phi) = n(A \cup B)$ となり、これは明らか。

t_hatayama
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