勉強のきっかけ

このところ休日返上で働いていましたが、急ぎの仕事にめどがついたので、1日だけ休みを取り、前から気になっていた量子コンピューターについて勉強してみました。
もちろん、今回も ChatGPT を質問攻めにして助けてもらいながら理解を深めました。人間の先生なら「おまえ、しつこいぞ」と怒られるレベルですが、AI は決して怒りません（笑）

ようやく量子計算のしくみがつかめてきたので、Prologで実験的なコードを書いてみました。せっかくなので、その記録を共有したいと思います。

量子の世界のデータ構造

量子コンピュータでは、複素数が主役です。
1ビットを表すためには、通常の 0 または 1 ではなく、それぞれの状態が持つ振幅（複素数）が必要です。

たとえば、1ビットなら [c(R1,I1), c(R2,I2)] のように2つの複素数、2ビットなら 4つの複素数で状態を表します。

Prologでは複素数を c(R,I) という形で表しました：

c(実部, 虚部)

たとえば、[c(1,0), c(0,0), c(0,0), c(0,0)] は、2ビットの初期状態 |00⟩ に対応します。

計算の心臓部：ユニタリ行列との積

量子コンピューターの計算の基本は、「状態ベクトルにユニタリ行列をかけること」です。これは線形代数で習った行列とベクトルの積ですが、要素が複素数になっている点が違います。

Prologでは次のように行列をリストのリストで表しました：

cnot([[c(1,0), c(0,0), c(0,0), c(0,0)],
      [c(0,0), c(1,0), c(0,0), c(0,0)],
      [c(0,0), c(0,0), c(0,0), c(1,0)],
      [c(0,0), c(0,0), c(1,0), c(0,0)]]).

これは有名なCNOTゲートを表しています。

状態ベクトルとこの行列の積を計算するために、mprod(U, V, W) という述語を定義しました。U がユニタリ行列、V が状態ベクトル、W に結果が返ります。

初期化：Hadamardゲート

量子状態を初期化するために、Hadamard行列を使います。これは各状態に「すべての可能性を等確率で割り当てる」ためのゲートです。

以下は2ビット版のHadamard行列：

hadamard([[c(0.7071,0), c(0.0,0),   c(0.7071,0), c(0.0,0)],
          [c(0.0,0),   c(0.7071,0), c(0.0,0),    c(0.7071,0)],
          [c(0.7071,0), c(0.0,0),   c(-0.7071,0), c(0.0,0)],
          [c(0.0,0),   c(0.7071,0), c(0.0,0),    c(-0.7071,0)]]).

デバッグツールとしての「干渉」計算

量子状態の振幅と位相を確認するために、**干渉（interference）の総和を計算し、それを極座標（振幅・位相）**に変換してみました。

Prologのコードでいうと：

interference(V, Z) :-
    interference1(V, Z1),
    polar(Z1, Z).

polar(c(R, I), p(A, S)) :-
    A is sqrt(R^2 + I^2),
    S is acos(R / A).

結果が p(1.4142, 0.0) であれば、振幅の合計が √2 で位相が 0、つまり成功していることになります。

実験結果

以下のような実験コードを書きました：

test1(V) :-
    state(S),
    hadamard(H),
    mprod(H, S, R),
    cnot(C),
    mprod(C, R, V).

これを実行すると：

?- test1(X).
X = [c(0.7071,0.0), c(0.0,0.0), c(0.0,0.0), c(0.7071,0.0)].

それぞれの振幅の2乗を確率とみなして計算します：

?- probability(X, P).
P = [0.5, 0.0, 0.0, 0.5].

つまり：

基底状態確率
00⟩ 50%
01⟩ 0%
10⟩ 0%
11⟩ 50%

これは制御ビットが 1 のときのみ対象ビットが反転した結果であり、CNOT の動作通りです。

まとめ

Prologで量子コンピューターのシミュレーションを始めてみました。最初は正直まったく分かりませんでしたが、丁寧に質問を重ねるうちに、ようやく少しずつ理解できるようになってきました。

記事の最後にこの名言を引用しておきたいと思います：

これは一人の人間にとっては小さな一歩だが、人類にとっては大きな飛躍である。
— ニール・アームストロング

実験コード

GitHubにコードを公開しています。興味のある方はぜひ試してみてください。
→ https://github.com/sasagawa888/nprolog/blob/master/tests/quantum.pl