目的
レパートリー法を用いて
\sum_{k=0}^{n} k^2 \tag{0}
の一般解を求める．
与えられる式
\begin{align}
R_0 &=\alpha \tag{1.1} \\
R_n &=R_{n-1}+\beta+n\gamma+n^2\delta \tag{1.2}
\end{align}
レパートリー法の解の一般系
$R_n$の式が次のような式で書けるとして計算をしていく
R_n = A(n)\alpha + B(n)\beta + C(n)\gamma + D(n)\delta \tag{2}
レパートリー法の計算
具体的な値を入れていく
Rn=1を計算
式1.1から
R_0 = 1 = \alpha
式1.2から
\begin{align}
R_n = 1 &= R_{n-1}+\beta+n\gamma+n^2\delta \\
&= 1 + \beta+n\gamma+n^2\delta \\
0 &= \beta+n\gamma+n^2\delta
\end{align}
よって，$\alpha=1,\beta=0, \gamma = 0, \delta = 0$
このときの$R_n$の値と$\alpha$とかを式(2)に代入して
1 = A(n) \tag{3.1}
を得る．
Rn=nを計算
式1.1から
R_0 = 0 = \alpha
式1.2から
\begin{align}
R_n = n &= R_{n-1}+\beta+n\gamma+n^2\delta \\
&= (n-1) + \beta+n\gamma+n^2\delta \\
1 &= \beta+n\gamma+n^2\delta
\end{align}
よって，$\alpha=0,\beta=1, \gamma = 0, \delta = 0$
このときの$R_n$の値と$\alpha$とかを式(2)に代入して
n = B(n) \tag{3.2}
を得る．
Rn=n^2を計算
式1.1から
R_0 = 0 = \alpha
式1.2から
\begin{align}
R_n = n^2 &= R_{n-1}+\beta+n\gamma+n^2\delta \\
&= (n-1)^2 + \beta+n\gamma+n^2\delta \\
&= n^2 - 2n + 1 + \beta+n\gamma+n^2\delta \\
2n - 1 &= \beta+n\gamma+n^2\delta
\end{align}
よって，$\alpha=0,\beta=-1, \gamma = 2, \delta = 0$
このときの$R_n$の値と$\alpha$とかを式(2)に代入して
n^2 = -B(n) + 2C(n) \tag{3.3}
を得る．
Rn=n^3を計算
式1.1から
R_0 = 0 = \alpha
式1.2から
\begin{align}
R_n = n^3 &= R_{n-1}+\beta+n\gamma+n^2\delta \\
&= (n-1)^3 + \beta+n\gamma+n^2\delta \\
&= n^3 - 3n^2 + 3n - 1 + \beta+n\gamma+n^2\delta \\
3n^2 - 3n +1 &= \beta+n\gamma+n^2\delta
\end{align}
よって，$\alpha=0,\beta=1, \gamma = -3, \delta = 3$
このときの$R_n$の値と$\alpha$とかを式(2)に代入して
n^3 = B(n) -3C(n) + 3D(n) \tag{3.4}
を得る．
A(n), B(n), C(n), D(n)を求める
上で求めた式
\begin{align}
1 &= A(n) \tag{3.1} \\
n &= B(n) \tag{3.2} \\
n^2 &= -B(n) + 2C(n) \tag{3.3} \\
n^3 &= B(n) -3C(n) + 3D(n) \tag{3.4} \\
\end{align}
から残ってる$C(n), D(n)$を求める．
式(3.3)に式(3.2)を代入して$C(n)$を得る．
n^2 = -n + 2C(n) \\
C(n) = \frac{n^2 + n}{2}
式(3.4)の$C(n)とB(n)$にこれまで求めた値を代入して$D(n)$を得る．
\begin{align}
n^3 &= n -3(\frac{n^2 + n}{2}) + 3D(n) \\
3D(n) &= n^3 - n + 3(\frac{n^2+n}{2}) \\
D(n) &= \frac{n^3-n}{3} + \frac{n^2+n}{2} \\
&=\frac{2n^3-2n}{6} + \frac{3n^2+3n}{6} \\
&= \frac{n(2n^2+3n+1)}{6}
\end{align}
= \frac{n(2n+1)(n+1)}{6} \tag{4}
一般解を求める
式(0)は以下のように表わせる．
S_n = \sum_{k=0}^{n} k^2= \sum_{k=0}^{n-1} k^2 + n^2 = S_{n-1} + n^2
ここで$R_n = S_n$として式(1.2)に代入すると，
\begin{align}
R_n &=R_{n-1}+\beta+n\gamma+n^2\delta \\
S_{n-1} + n^2 &= S_{n-1}+\beta+n\gamma+n^2\delta \\
n^2 &= \beta+n\gamma+n^2\delta
\end{align}
となり，$\alpha=\beta=\gamma=0,\delta = 1$が得られる．
得られた値を式(2)に代入すると，
\begin{align}
R_n &= A(n)*0 + B(n)*0 + C(n)*0 + D(n)*1 \\
&= D(n)
\end{align}
となる．
$D(n)$は式(4)より，$\frac{n(2n+1)(n+1)}{6}$であるから，
\sum_{k=0}^{n} k^2
の一般解$R_n$は,
R_n = \frac{n(2n+1)(n+1)}{6}
である．