MA, AR, ARMA, ARIMAの関係についての備忘（時系列データ）

MAモデルとは

• MAモデル＝Movement Averageモデル（移動平均モデル）
• $y_t = ε_t + θ_1ε_{t-1}$で表される
• 一時点前は、$y_{t-1} = ε_{t-1} + θ_1ε_{t-2}$となり、$ε_{t-1}$の部分（誤差）で自己相関を持つ
  　⇒ 過去の誤差に影響されるモデル
• 直前の$q$個の値の誤差に影響を受けるモデルを$M(q)$と記載
  • $MA(1)$
    • $y_t = μ + ε_t + θ_1ε_{t-1}$
    • $y_{t-1} = μ + ε_{t-1} + θ_1ε_{t-2}$
  • $MA(2)$
    • $y_t = μ + ε_t + θ_1ε_{t-1} + θ_2ε_{t-2}$
    • $y_{t-1} = μ + ε_{t-1} + θ_1ε_{t-2} + θ_2ε_{t-3}$
  • $MA(q)$モデルでは、$y_t$と$y_{t-1}$との間に$q$個の共通部分を持つ = $q$期前までは自己相関を持ち、$q+1$期以降とは自己相関を持たない

ARモデルとは

• ARモデル＝Autoregressiveモデル（自己回帰モデル）
• $y_t = c + φ_1y_{t-1} + ε_t$
  • $y_t$が$y_{t-1}$で表現される = 自己相関がある
• 直前の$p$個の値から次の値を予測するモデルを$AR(p)$と記載

ARMAモデルとは

• MAモデルとARモデルは互いに競合しないため、これらを組み合わせ、次のように表す
  • $AR(p)$と$MA(q)$を表したARMAモデル：$ARMA(p,q)$

ARIMAモデルとは

• ARIMAモデル = Autoregressive Integrated Moving Averageモデル（自己回帰和分移動平均モデル）
• 原系列を階差数列へ変換し、ARMAモデルへ適応したもの
• ARMAモデルは定常過程（時間によって確率分布（平均や分散）が変化しない確率過程のデータ）にしか適応できないが、ARIMAモデルは非定常過程にも適応可能
• $d$時点前との差分をとった場合の$ARMA(p,q)$モデルから構築されたARIMAモデルは、$ARIMA(p,d,q)$と表される
  • $p$: 自己相関度
  • $d$: 誘導
  • $q$: 移動平均