まず問題！
main.blade.php
<img src="./node_modules/bootstrap-icons/icons/bootstrap-fill.svg" alt="" width="32" height="32" title="Bootstrap">
上のパスのどこが間違ってるでしょうか！正解はnode_modulesにアクセスはできないってとこです！
404で参照できないって言われます...。
まぁ参照する方法はあると思うのですが、まずnode_modulesはGit管理外の場所なのでおすすめはしないです。
そこでなら調べたらLaravel/Mixに良い機能があるではないですか！
https://readouble.com/laravel/5.5/ja/mix.html
mix.copyにコピー元とコピー先を指定すればnpm run devなどの実行時にコピーしてくれるみたいです。
public\の中なら読み込みができるのでbootstrap-iconsというフォルダーを作成して
webpack.mix.js
mix.copy('node_modules/bootstrap-icons', 'public/bootstrap-icons');
を追加してnpm run devを実行すれば
コピーされてると思います！
あとは
main.blade.php
<img src="bootstrap-icons/icons/bootstrap-fill.svg" alt="" width="32" height="32" title="Bootstrap">
に変更すれば表示できると思います！