オイラー法で解く連立微分方程式

なぜ連立微分方程式を学ぶのか

２階微分方程式は運動方程式・２重振り子などいろんな場面で使うものです。オイラー法で２階以上の微分方程式を解くために連立微分方程式が必要になります。また、この考え方はルンゲクッタでも使います。

方法

n階微分方程式はn次１階連立微分方程式に直すことができます。例えば、$ \frac{d^2y}{dx^2} = -x $という方程式を解きたい場合、

\begin{eqnarray}
  \left\{
    \begin{array}{l}
      \frac{dy}{dx} = v \\
      \frac{dv}{dx} = -x
    \end{array}
   \right.
\end{eqnarray}

という風に直せます。連立微分方程式に直したら、今度はオイラー法の出番です。ここではとりあえず、初期値として$ x_0 = 0, v_0 = 0, y_0 = 1 $とします。これを解いたら$ y = sin(x) $と同じグラフになるはずです。

まず、$ v_1 $の値を求めます。$ \frac{dv}{dx} = -x $という式を使えばいいので、$ v_1 = v_0 + ( - x_0) \Delta x = 0 $になります。
つぎに$ y_1 $の値を求めます。$ \frac{dy}{dx} = v $という式を使えばいいので、$ y_1 = y_0 + v_0 \Delta x = 0 $になります。
$ x_1 = x_0 + \Delta x $は説明いりませんよね。

同じように$ y_2, v_2, x_2 $を求めて、次に$ y_3, v_3, x_3 $を求めて......という操作を繰り返していくだけです。