二項係数と「n個からr個選んで並べる」の関係性について頭を働かせたので備忘として。
「n個からr個選んで並べる」は $${}_n P_r = \dfrac {n!}{(n-r)!}$$
二項係数は $${}_n C_r = \dfrac {n!}{r!(n-r)!}$$
つまり$${}_n P_r = {}_n C_r\times{r!}$$
となる。
これは具体例を当てはめると考えやすい。
1,2,3,4の数列から3個選んで並べる組み合わせを考える。
組み合わせの数は24通りとなるが、並び順を区別しなかった場合にいくつかの組み合わせはひとつにまとめられる。
今回は3個選んでいるため、並び順を区別しなかった場合の組み合わせの数に3の階乗を乗ずることで24になるはず。
より詳細に言うと、並び順を区別しなかった場合は{1,2,3}、{1,2,4}、{1,3,4}、{2,3,4}の4種類の組み合わせができる。其々は3の階乗(=6)通りの並び順を持つ。なので並び順を区別する組み合わせの数を求めると、
$$24=4\times{3!}$$
となる。
LaTexの記法は下記を参考にした。