アナログ振幅変調（AM）

振幅変調とは

変調方式の一つ

送信信号は，$u(t) = ARe[\chi (s(t))e^{j2\pi f_ct}]$と表される．

送りたい信号（ベースバンド信号）$s(t)$が振幅に入っている．$\chi(s(t))$によって振幅変調の種類が変わる．
その信号を搬送波($e^{j2\pi f_ct}$)によって送信信号の周波数を$f_c$付近にしている．

信号の流れ

信号が変調・送信・受信・復調される図は下のイメージ

使用する文字

$u(t)$：送信信号
$v(t)$：受信信号
$\gamma_i$：復調器に入力する信号(受信信号)の SNR
$\gamma_o$：復調器から出力された信号(受信者が受け取る信号)の SNR

SNR は信号対雑音電力比であり，以下のように表される．

\begin{align}
\frac{E\left[ \left| 信号成分 \right|^2\right]}{E\left[\left|雑音成分\right|^2\right]}
\end{align}

包絡線検波を前提とした変調

送信信号

$\chi (s(t)) = 1 + m_a s(t)$

\begin{align}
u(t) &= ARe\left[ \{1 + m_a s(t)\} cos(2\pi f_c t)\right] \\
    &= A(1 + m_a s(t))cos(2\pi f_c t)\\
\end{align}

受信信号

\begin{align}
v(t) = A(1 + m_a s(t))cos(2\pi f_c t) + n(t)
\end{align}

復調器入力 SNR

\begin{align}
\gamma_i &= \frac{E\left[ \left| A(1 + m_a s(t))cos(2\pi f_c t) \right|^2\right]}{E\left[\left|n(t)\right|^2\right]}\\
    &= \frac{\frac{A^2}{2}+m_a^2E\left[|s(t)|^2\right]}{N_0B}\\
    &= \frac{\frac{A^2}{2}+m_a^2E\left[|s(t)|^2\right]}{2f_mN_0}
\end{align}

復調後信号（同期検波）

\begin{align}
y(t) &= [v(t)cos(2\pi f_ct)]_{LPF}\\
    &= [\{A(1+m_a s(t))cos(2\pi f_c t) + n_I(t)cos(2\pi f_ct) - n_Qsin(2\pi f_ct)\}cos(2\pi f_ct)]_{LPF}\\
    &= [A(1+m_a s(t))cos^2(2\pi f_c t) + n_I(t)cos^2(2\pi f_ct) - n_Qsin(2\pi f_ct)cos(2\pi f_ct)]_{LPF}\\
    &= \frac{A}{2}(1+m_as(t)) +\frac{n_I}{2}
\end{align}

半角の公式より

\begin{align}
[cos^2f_c]_{LPF} = \left[\frac{1}{2}+\frac{cos(2f_c)}{2}\right]_{LPF} = \frac{1}{2}\\
[sin(f_c)cos(f_c)]_{LPF} = \left[\frac{1}{2}sin(2f_c)\right] = 0
\end{align}

復調器出力 SNR

\begin{align}
\gamma_o &= \frac{E\left[ \left| \frac{A}{2}(1+m_as(t)) \right|^2\right]}{E\left[\left|\frac{1}{2}n(t)\right|^2\right]}\\
    &= \frac{\frac{A}{4}m_a^2E\left[|s(t)|^2\right]}{\frac{1}{4}N_0B}\\
    &= \frac{Am_a^2E\left[|s(t)|^2\right]}{2f_mN_0}
\end{align}

以下の信号でも送信信号さえ決めてしまうと同じことができる．

DSB-SC

$\chi (s(t)) = m_a s(t)$

\begin{align}
u(t) &= ARe\left[ m_a s(t) cos(2\pi f_c t)\right] \\
    &= Am_a s(t)cos(2\pi f_c t)
\end{align}

SSB

$\chi (s(t)) = s(t) + js'(t)$

\begin{align}
u(t) &= ARe\left[ \{s(t) + js'(t)\} cos(2\pi f_c t)\right]\\
    &= A\{s(t)cos(2\pi f_ct) - s'(t)sin(2\pi f_ct)\}
\end{align}

QAM

$\chi (s(t)) = s_I(t) + js_Q(t)$

\begin{align}
u(t) &= ARe\left[ \{s_I(t) + js_Q(t)\} cos(2\pi f_c t)\right]\\
    &= A\{s_I(t)cos(2\pi f_ct) - s_Q(t)sin(2\pi f_ct)\}
\end{align}