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@sora410

三角不等式

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今日は。
三角形の形成条件についてメモしておきます。

三角形の形成条件

$\triangle{ABC}$の3辺の長さをそれぞれ$a,b,c$とすると, 次の3式が成立する:

\begin{align*}
\ a+b&>c.\\
\ b+c&>a.\\
\ c+a&>b.
\end{align*}

これら3式を三角不等式という.
これを1文字(ここでは$a$にする)について整理すれば, それぞれ

\begin{align*}
\ a>c-b\\
\ a<b+c\\
\ a>b-c
\end{align*}

となるから, まとめて
$$|b-c|<a<b+c$$
と表せる.
特に, $\max\{ a,b,c \} =a $であるとき, $|b-c|<a$であるから,
$$a<b+c$$
(一番長い辺が他の2つの辺の和より小さい)
と同値.
逆に, 長さがそれぞれ$a,b,c$であるような3つの線分に関して, 三角不等式が成立するとき, 3辺を$a,b,c$とする三角形が存在する.

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