Kawazoe(@riverplus)さんのCodeIqの問題です。（<-2024.10.24追加）
問題はこちらにお世話になりました。解答例もあります。
->https://sw-logic.com/Portfolio/Programing/CodeIQ/3053.php
こちらにも情報があります。テストケースもこちらで見つけました。
->https://togetter.com/li/1062323

図をよく見ると気が付くのですが、螺旋というのは目くらましで、要するに、
距離mの螺旋は（出発点を加えて）m+1個の交差点のある矩形を意味します。
そこでこれは積がm+1(m<=n)になる2以上の2つの整数の組み合わせを
求める問題です。

x*y=m+1(m<=n)となるx,yをmごとに求めるのと
x*y<=n+1となるyをxごとに求めるのは同等ですので
2<=x<=sqrt(n+1)のxに対してx*y<=n+1になるy（x< y,y>x,x=y)を集めます。
あるxに対してx*y<=n+1となるyの数はdiv(n+1,x)個あります。
そのうちx>=yとなるのがx*1...x*xのx個ですので
x< yとなるyの数はdiv(n+1,x)-xです。y>xとなるyの数も同じです。
これを2<=x<=sqrt(n+1)のxについて足していきます。
x=yとなるのはxの数と同じですので最後にint(sqrt(n+1))-1を足します。

元の問題の範囲ではbigはいりません。
10^15で3-5秒くらいかかります。

ideoneがまた使えるようになっていました。

#ver 1.53, 1.73,1.10.3

function solve(n,a)
     sum=big(0)
     k=Int(floor(sqrt(n+1)))
     for i in 2:k
        sum += div(n+1,i) - i  #(i^1...i^iの数を引く->x<yとなるyの数)
     end
     sum　=　sum + sum　+　k-　1   #(y>xとなるyの数とx=yとなるyの数を足す)
     s = a == sum ? "ok " : "no "
     println(s,sum)
end

solve(1,0)
solve(11,12)
solve(100,283)
solve(1000,5076)
solve(991245,11856448)
solve(1000000,11970037)
solve(1000000000,18877697665)
solve(1000000000000,25785452449093)
solve(1000000000000000,32693207724724373)
#solve(1000000000000000000,419035480966899467511)

Prologも同じ方針で書いています。
10^15で7秒以上かかります。

%:-initialization(start).   %(Online Prolog Compiler,ideone.)
%start.

loop(_,1,R,R).
loop(N,E,R1,R):-
    R2 is R1+div(N,E) - E,E1 is E-1,loop(N,E1,R2,R).

solve(N,R):-    
   N1 is N+1,E is floor(sqrt(N1)),loop(N1,E,0,R1),
   R is R1*2 + E - 1.
   
start:-f(N,A),(solve(N,R)->(R==A->Str=" ok  ";Str=" no  ");
    write(fail)),write(" "),write(Str),writeln(R),fail.
start.

f(1,0).
f(11,12).
f(100,283).
f(1000,5076).
f(991245,11856448).
f(1000000,11970037).
f(1000000000,18877697665).
f(1000000000000,25785452449093).
%f(1000000000000000,32693207724724373).
%f(1000000000000000000,419035480966899467511).