注意
この記事はFGOことFate/Grand Orderというソーシャルゲームのあるアルゴリズムについての記事です。
はじめに
FGOではクリティカルが戦術の大きな部分を占めますが、クリティカルスターの集中の計算はちょっと面倒です。
仕様は
- サーヴァント毎に集中度（SW）が設定されている。(10～200)
- 集中度アップ・ダウンの効果によって増減する。
- サーヴァント3騎から5枚のカードをランダムに配布する。
- それぞれのカードについて、ランダムに集中度にボーナス(+0x2, +20x2, +50x1)が加算される。
- ボーナス加算後の集中度に応じて保有しているクリティカルスターを振り分ける。
- 10個振り分けられたカードにはそれ以上振り分けられない。
計算例
以下のようなサーヴァントで考えます。
- SW
- サーヴァント1：200
- サーヴァント2：50
- サーヴァント3：10
サーヴァント1から2枚、2から2枚、3から1枚配布され、ボーナスを+0, +0, +50, +20, +20で考えると…
- いずれのカードもスター10個未満の時
| 配布カード | サーヴァント1 カードA |
サーヴァント1 カードB |
サーヴァント カードC |
サーヴァント2 カードD |
サーヴァント3 カードE |
|---|---|---|---|---|---|
| 集中度 | 200 | 200 | 50 | 50 | 10 |
| ボーナス | +0 | +0 | +50 | +20 | +20 |
| 合計 | 200 | 200 | 100 | 70 | 30 |
| 比率(%) | 33.3 | 33.3 | 16.7 | 11.7 | 5 |
- カードAがスター10個になった時
| 配布カード | サーヴァント1 カードA |
サーヴァント1 カードB |
サーヴァント カードC |
サーヴァント2 カードD |
サーヴァント3 カードE |
|---|---|---|---|---|---|
| 集中度 | - | 200 | 50 | 50 | 10 |
| ボーナス | - | +0 | +50 | +20 | +20 |
| 合計 | - | 200 | 100 | 70 | 30 |
| 比率(%) | - | 50 | 25 | 17.5 | 7.5 |
- カードAとBがスター10個になった時
| 配布カード | サーヴァント1 カードA |
サーヴァント1 カードB |
サーヴァント カードC |
サーヴァント2 カードD |
サーヴァント3 カードE |
|---|---|---|---|---|---|
| 集中度 | - | - | 50 | 50 | 10 |
| ボーナス | - | - | +50 | +20 | +20 |
| 合計 | - | - | 100 | 70 | 30 |
| 比率(%) | - | - | 50 | 35 | 15 |
………と、このように確率が変化していきます。
計算
ボーナスは振り分けの過程で変化しないので無視して、一般化して考えます。
カード$n$に$y$個のスターが振り分けられる確率は、
- カード$n$に$y-1$個スターがあって、カード$n$に1個スターが振り分けられる確率
- カード$n$に$y$個スターがあって、カード$n$以外に1個スターが振り分けられる確率
の合計です。
これをPythonプログラムで実装します。
実装
fgostarcalc.py
import math
#各カードのSW（ボーナス込み）：カード1～カード5
SW = [200, 200, 100, 70, 30]
#各カードのスター0～10個の状態の確率を保持
Probabilities = [None for _ in range(11**6)]
Probabilities[0] = 1
#任意の桁の数字の取得(各カードのスターの個数)
def digitnum(decim, base, ind):
return(math.floor((decim % (base**ind))/(base**(ind-1))))
#各桁の数字の合計(スターの合計)
def sumdigit(decim, base):
if decim == 0:
return 0
else:
return(sum([digitnum(decim, base, i) for i in range(1, 2+math.ceil(math.log(decim, base)))]))
#有効性の検証
def is_valid(decim, base, totalstar, card, holdstar):
if digitnum(decim, base, card) == holdstar:
if sumdigit(decim, base) == totalstar:
return True
return False
#各状態の確率計算の再帰関数
def calc_starprob(decim, base, totalstar, card, holdstar):
#print(decim, base, totalstar, card, holdstar)
starweights = [0 if digitnum(decim, base, x+1)
== base-1 else SW[x] for x in range(5)]
starprob = [SW[x]/(sum(starweights)-starweights[x]+SW[x])
for x in range(5)]
starweights[card] = SW[card]
if decim < 0 or totalstar < 0 or holdstar < 0:
print("Error: ", decim, base, totalstar, card, holdstar)
raise
if Probabilities[decim] != None:
return(Probabilities[decim])
else:
tmp = [0]
for x in range(5):
if digitnum(decim, base, x+1) == 0:
continue
else:
if x+1 == card and holdstar > 0:
tmp += [calc_starprob(decim-base**x, base,
totalstar-1, card, holdstar-1)*starprob[x]]
elif x+1 != card:
tmp += [calc_starprob(decim-base**x, base,
totalstar-1, card, holdstar)*starprob[x]]
Probabilities[decim] = sum(tmp)
return(Probabilities[decim])
#totalstar個スターがある時のcardにholdstar個のスターが集まる確率
def calc_probability(totalstar,card,holdstar):
return(sum([calc_starprob(x, 11, totalstar, card, holdstar)
for x in range(11**5) if is_valid(x, 11, totalstar, card, holdstar)]))
#totalstar個スターがある時のcardにholdstar個以上のスターが集まる確率
def calc_moreprobability(totalstar,card,holdstar):
tmp=0
for star in range(holdstar, 11):
tmp+=sum([calc_starprob(x, 11, totalstar, card, star)
for x in range(11**5) if is_valid(x, 11, totalstar, card, star)])
return(tmp)
#totalstar個スターがある時のcardにholdstar個以下のスターが集まる確率
def calc_lessprobability(totalstar,card,holdstar):
tmp=0
for star in range(0,holdstar+1):
tmp+=sum([calc_starprob(x, 11, totalstar, card, star)
for x in range(11**5) if is_valid(x, 11, totalstar, card, star)])
return(tmp)
#totalstar個スターがある時のcardに集まるスターの個数の期待値
def calc_expectation(totalstar,card):
tmp=0
for star in range(0, 11):
tmp+=calc_probability(totalstar, card, star)*star
return(tmp)
#cardに集まるスターの個数の期待値がstar個となるのに必要なスターの個数(整数値)
def calc_totalstar_expectation(card,star):
if star>10:
star=10
for totalstar in range(50):
if calc_expectation(totalstar,card)>star:
return(totalstar)
テスト
#サンプル(25個スターがある時に8個がカード1に集まる確率)
print(calc_probability(25, 1, 8))
#0.1693947010897705
#サンプル(20個スターがある時にカード1に集まるスターの個数の期待値)
print(calc_expectation(20, 1))
#6.862519232471602
#サンプル(カード1に期待値4個以上集めるのに必要なスターの個数)
print(calc_totalstar_expectation(1,4))
#12
おわりに
あまり早い実装とは言えませんが、一応計算できました。
確率、期待値、必要な個数なども計算できます。
ランダムなボーナスも$\frac{5!}{2!2!}=30$通りなのでこれを応用すればすべてのパターンを計算することが出来ると思います。