量子計算のための回転行列

参考:
- https://en.wikipedia.org/wiki/Rotation_operator_(quantum_mechanics)
- http://www.appi.keio.ac.jp/Itoh_group/spintronics/pdf/QC2005/QI-School-2005-5.pdf

導入

量子回路に必要な演算子である，$R_x$, $R_y$, $R_z$の形を備忘録

記号

$X$, $Y$, $Z$: pauli行列
$I$: 単位行列

準備

$$
X^n =
\begin{cases}
I \;\;(n\rm{:even}) \\
X \;\;(n\rm{:odd}) \\
\end{cases}
$$
$Y$,$Z$も同様．

RX

テイラー展開を行うと，

R_x(\theta) \equiv e^{-i\theta X/2} = \cos\frac{\theta}{2}I -i\sin\frac{\theta}{2}X =
\begin{pmatrix}
\cos(\theta/2) & -i\sin(\theta/2) \\
-i\sin(\theta/2) & \cos(\theta/2) 
\end{pmatrix}

RY

R_y(\theta) \equiv e^{-i\theta Y/2} = \cos\frac{\theta}{2}I -i\sin\frac{\theta}{2}Y =
\begin{pmatrix}
\cos(\theta/2) & -\sin(\theta/2) \\
\sin(\theta/2) & \cos(\theta/2) 
\end{pmatrix}

例

$\theta=\pi/2$ のとき

\begin{pmatrix}
\cos(\pi/4) & -\sin(\pi/4) \\
\sin(\pi/4) & \cos(\pi/4) 
\end{pmatrix}
= \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}
1 & -1 \\
1 & 1
\end{pmatrix}

RZ

R_z(\theta) \equiv e^{-i\theta Z/2} = \cos\frac{\theta}{2}I -i\sin\frac{\theta}{2}Z =
\begin{pmatrix}
e^{-i\theta/2} & 0 \\
0 & e^{i\theta/2}
\end{pmatrix}

---

生成子

$X/2$, $Y/2$, $Z/2$, などを回転行列の生成子と呼ぶ．ちなみに物理のローレンツブーストでも同じような計算が出てくる．（ただし，$\cos, \sin$が$\cosh, \sinh$になる．)
参考: 量子力学選書　場の量子論　坂本眞人 p.132