ウィルコクソンの符号順位検定

対応のある2群のデータ

X=(x_1, x_2, x_3 \cdots x_n)\\
Y=(y_1, y_2, y_3 \cdots y_n)

について、二群間の代表値に違いがあるかどうか検定したい。
まず、二群間の差 $d_i = |x_i - y_i|$、差の符号 $s_i = sig(x_i - y_i)$をそれぞれ取る。
$d_i$を小さい順に並べたときの順位$r_i$を
$s_i > 0$である$i$について足し合わせて$R_{plus}$
$s_i < 0$である$i$について足し合わせて$R_{minus}$
とする。
統計量は$R=min(R_{plus}, R_{minx})$と表される。

$n'$($d_i=0$であるものを除いた要素数)が$n'=<25$のときは検定表から有意性検定を行う。

x <- c(1.83, 1.50, 1.62, 2.48, 1.68, 1.88, 1.55, 3.06, 1.30)
y <- c(0.88, 0.65, 0.60, 1.05, 1.06, 1.29, 1.06, 2.14, 1.29)
d <- x - y
s <- sign(d)
r <- rank(abs(d))
R_plus <- sum(r[which(s>0)])
R_minus <- sum(r[which(s<0)])
R <- min(R_plus, R_minus)
R

$n'>25$のとき

E(R)=\frac{n'(n'+1)}{4}\\
SD(R)=\sqrt{\frac{n'(n'+1)(2n'+1)}{24}}

とすると

z=\frac{R-E(R)}{SD(R)}

は標準正規分布に従うので、これによりp値を求める事ができる。

n <- sum(sign!=0)
mu <- n*(n+1)/4
sigma <- sqrt(n*(n+1)*(2*n+1)/24)
V <- abs(w-mu)/sigma
pnorm(V, lower=F)

wilcox.test(x, y, paired=T)