ABC380Dの自分なりの回答

前提

sの長さの範囲的に二重ループまではいけそう
kの範囲的にループは無理そう

小さな例で可視化

問題だけ読んでもわからないから、具体例で把握する。

S = "ab"
ステップ1: ab‖AB
ステップ2: ab‖AB‖AB‖ab
ステップ3: ab‖AB‖AB‖ab‖AB‖ab‖ab‖AB
ステップ4: ab‖AB‖AB‖ab‖AB‖ab‖ab‖AB‖AB‖ab‖ab‖AB‖ab‖AB‖AB‖ab

「倍倍」で増えているため、bitに着目する

実際に解くときは過去の経験上、法則を見つけるためにbitにとりあえず着目してみようという感じ。

ステップ3までを表で表す。Bは何ブロック目なのか表す。

B	2進表記	反転回数	1の個数
0	000	0	0
1	001	1	1
2	010	1	1
3	011	2	2
4	100	1	1
5	101	2	2
6	110	2	2
7	111	3	3

1. 法則を見つける

ステップ2まで

B	2進表記	反転回数	1の個数
0	000	0	0
1	001	1	1
2	010	1	1
3	011	2	2

ステップ3まで

B	2進表記	反転回数	1の個数
0	000	0	0
1	001	1	1
2	010	1	1
3	011	2	2
4	100	1	1
5	101	2	2
6	110	2	2
7	111	3	3

$B$が0~3と4~7は、順に下位2bitが一緒。
最上位bitのみ反転している！

これより、以下のことが言えそう。

ステップ$i$まで
下位$1$~$i-1$bitをコピーする。
コピー元の下位$i$bitに0を、コピー先の下位$i$bitに1を追加する。0とは文字をかえない、1とは文字を変えるという意味。

回答

文字を変えるかどうかは、何ブロック目かをbitで表した時の1の数を数えていけば良い。

何ブロック目なのかは

cin >> k;
k--;
long long block = k / s.size()

で計算できる。

ブロック内のindexは

long long index = k % s.size()

で計算できる。

感想

「倍倍」で増えているということから、bitに着目するなんていう発想出てこなかった。
こんなの経験しないとわからないよ。