オイラー積の証明

#動機
ぐぐるなり書籍をあたればオイラー積の証明は出てきますが、自分の言葉で書き下してみたくなりました。

##主定理

$$ \zeta(s)=\prod_{p:素数}(1-p^{-s})^{-1} = \sum_{n=1}^{\infty}n^{-s} $$

書き下した形

\begin{align}
 \zeta(s)&= (\frac{1}{1-2^{-s}})(\frac{1}{1-3^{-s}})(\frac{1}{1-5^{-s}})(\frac{1}{1-7^{-s}})\cdots \\
&=1+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s} \cdots

\end{align}

###補助定理

({1-p^{-s}})^{-1} = 1+p^{-s}+p^{-2s}+p^{-3s}\cdots\\

(ただし\: p \:は 1より大きな整数)

###補助定理の証明

初項$1$, 公比$r$の等比数列の和は

S_n=1+r+r^2+r^3\cdots+r^n

両辺を$r$倍し、もとの式と差をとると

\begin{align}
    S_n &= 1+ & r+r^2+r^3\cdots+r^{n-1}& \\
-) r S_n &=    & r+r^2+r^3\cdots+r^{n-1}&+r^n\\
\hline
(1-r)Sn &=1 &&-r^n\\
\end{align}

%\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\:\;\,\;\, S_n = 1+ r+r^2+r^3\cdots+r^{n-1}\\
%\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\;\;\underline{-) \quad rS_n =  \quad\quad\quad\:\; %r+r^2+r^3\cdots+r^{n-1}+r^n}\\
%(1-r)Sn =1 -r^n

よって $r\neq1$とすると

S_n = \frac{1-r^n}{1-r}

$r=p^{-s}<1$とおくと

\begin{align}

\lim_{n \to \infty}S_n &= \frac{1}{1-p^{-s}}\\
&=1+p^{-s}+(p^{-s})^2+(p^{-s})^3+(p^{-s})^4+(p^{-s})^5+\cdots\\
&=1+p^{-s}+p^{-2s}+p^{-3s}+p^{-4s}+p^{-5s}\cdots
\end{align}

補助定理証明終わり。

##主定理の証明

定義より

\begin{align}

\zeta(s) &= \prod_{p:素数}(1-p^{-s})^{-1}\\

&=(1-2^{-s})^{-1}(1-3^{-s})^{-1}(1-5^{-s})^{-1}\cdots \\

\end{align}

ここで補助定理より

\begin{align}
&=(1+2^{-s}+2^{-2s}+2^{-3s}+\cdots)\times \\
& \quad\; (1+3^{-s}+3^{-2s}+3^{-3s}+\cdots)\times \\
& \quad\; (1+5^{-s}+5^{-2s}+2^{-3s}+\cdots)\times \cdots \\
\\
&=(1+2^{-s}+(2^2)^{-s}+(2^3)^{-s}+\cdots)\times\\
& \quad\; (1+3^{-s}+(3^2)^{-s}+(3^3)^{-s}+\cdots)\times\\
& \quad\; (1+5^{-s}+(5^2)^{-s}+(5^3)^{-s}+\cdots)\times \cdots

\end{align}

ここで、「算術の基本定理」つまり*「任意の正整数は、1 を除いて、一つまたはそれ以上の素数の積として（因子の順番の違いを除いて）ただ一通りに表すことができる」*という事実から

\begin{align}
 &=(1\times1\times1\times1\times\cdots)+ &\color{blue}{(1の項)}\\ 
&\quad\;(2^{-s}\times1\times1\times1\times\cdots)+　 &\color{blue}{(2^{-s}の項)}\\
&\quad\;(1\times3^{-s}\times1\times1\times\cdots)+   &\color{blue}{(3^{-s}の項)}\\
&\quad\;((2^2)^{-s}\times1\times1\times1\times\cdots)+ &\color{blue}{(4^{-s}の項)}\\
&\quad\;(1\times1\times5^{-s}\times1\times\cdots)+ &\color{blue}{(5^{-s}の項)}\\
&\quad\;(2^{-s}\times3^{-s}\times1\times1\times\cdots)+ &\color{blue}{(6^{-s}の項)}\\
&\quad\;\cdots\\
&\quad\;\\

&= 1+2^{-s}+3^{-s}+4^{-s}+5^{-s}+6^{-s}+\cdots \\
&= \sum_{n=1}^{\infty}n^{-s}

\end{align}

主定理の証明終わり。