Rails のコントローラが "request_method" という Cookie をセットしようとすることはないだろうか？
これは Turbolinks という Gem が出力するもので、Web サイトのリンク遷移を速くするもの。ページにはよいが、 REST API のコントローラなどには全くもって不要なものである。
before_action で挿入している ようなので、以下のコードでスキップできる。
class APIController < ApplicationController
skip_before_action :set_request_method_cookie
end