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MIT 单变量微积分メモ

Posted at 2018-08-18

導関数

f'(x) = \frac{dy}{dx} = \lim_{△X \to 0} \frac{f(x+△X)-f(x)}{△X} \\

微分可能の定義

x=aにおける　\lim_{△X \to 0} \frac{f(a+△X)-f(a)}{△X}　が存在すれば微分可能 \\

連続性の定義

　\lim_{x \to a} f(x) = f(a) \\

微分可能と連続性の関係

　　X=aで微分可能ならx=aで連続、逆に連続でも微分可能とは限らない。

　　微分可能　→　左極限値　= 右極限値　→　連続

　　連続　→　左極限値　= 　右極限値　とは限らない　→　微分可能とは限らない

和の微分公式

　 (a * f(x) + b * g(x))' = a* f'(x) + b * g'(x)

積の微分公式

  (f(x)* g(x))' = f'(x) * g(x) +  f(x) * g'(x)

商の積分公式


(\frac{f(x)}{h(x)})' = \frac{f'(x) * h(x) - f(x) * h'(x)}{h(x)^2}

合成関数の微分

{f(g(x))}' = f'(g(x)) * g'(x)

理解しすいため

\frac{dy}{dh} = \frac{dy}{dx} * \frac{dx}{dh}

高階微分


f''(x) =  \lim_{△X \to 0} \frac{f'(x+△X)-f'(x)}{△X} \\ =  2\lim_{△X \to 0} \frac{ \frac{f(x+2△X)+f(x)}{2}-f(x+△X)}  {(△X)^2} \\